Seja f(x)=1 / x. Mostre que f(f(x))=x para x neq 0.

Passo 1

A questão pede para mostrar que, para a função f(x)=1x, a composição f(f(x)) devolve exatamente x. O conteúdo aqui é composição de funções e vamos precisar usar a definição de (fcirc g)(x)=f(g(x)) e a propriedade da recíproca de uma fração.

Passo 2

Pela definição de composição, temos f(f(x))=(fcirc f)(x)=fl(f(x)r). Já sabemos que f(x)=tfrac1x, então vamos substituir esse resultado dentro de f.

Passo 3

Substituindo f(x)=tfrac1x no lugar de x na função f, obtemos
f(f(x))=fl(tfrac1xr)=1tfrac1x

Passo 4

Agora simplificamos a fração recíproca: ao inverter tfrac1x no denominador, temos
1tfrac1x=x
Isso mostra que a composição devolve x.

Passo 5

Fica claro que toda a operação faz sentido apenas quando xneq0, pois tanto f(x) quanto f(f(x)) exigem denominador não nulo. Portanto, para xneq0, vale $f(f(x))=x.

Resposta

f(f(x))=x, para xneq0.

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