Questão 5

Resolver a equação (sen x-sen y) y^prime=-y cos x.

Passo 1

Nesse problema a gente precisa resolver a equação (sin x - sin y),y' = -ycos x. Isso cai como uma equação diferencial de primeira ordem, e um jeito eficiente é tratar como equação exata.

Passo 2

Primeiro reorganizamos a equação na forma diferencial M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0. Em bloco:
(sin x - sin y),dy + ycos x,dx = 0
Aqui identificamos
M(x,y) = ycos x
como coeficiente de dx
e
N(x,y) = sin x - sin y
como coeficiente de dy.

Passo 3

Para ver se é exata, calculamos
partial Mpartial y = cos x
e
partial Npartial x = cos x.
Como são iguais, a equação é exata.

Passo 4

Agora buscamos uma função potencial Psi(x,y) tal que
partial Psipartial x = M = ycos x
Integrando em relação a x:
Psi(x,y) = integral ycos x,dx = ysin x + h(y),
onde h(y) é uma função que só depende de y.

Passo 5

Para determinar h(y), usamos
partial Psipartial y = sin x + h'(y)
e igualamos a N = sin x - sin y.
Isso dá h'(y) = -sin y
e, integrando, h(y) = cos y.
Logo a solução geral implícita vem de Psi(x,y) = C.

Resposta

y \sin x + \cos y = C

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