Questão 5
Resolver a equação
.
Passo 1
Nesse problema a gente precisa resolver a equação
. Isso cai como uma equação diferencial de primeira ordem, e um jeito eficiente é tratar como equação exata.
Passo 2
Primeiro reorganizamos a equação na forma diferencial
. Em bloco:
Aqui identificamos
como coeficiente de
e
como coeficiente de .
como coeficiente de
e
como coeficiente de
Passo 3
Para ver se é exata, calculamos
e
.
Como são iguais, a equação é exata.
e
Como são iguais, a equação é exata.
Passo 4
Agora buscamos uma função potencial
tal que
Integrando em relação a :
Integrando em relação a
onde
é uma função que só depende de
.
Passo 5
Para determinar
, usamos
e igualamos a .
Isso dá
e, integrando, .
Logo a solução geral implícita vem de .
e igualamos a
Isso dá
e, integrando,
Logo a solução geral implícita vem de
Resposta
y \sin x + \cos y = C