Determine uma circunferência ( lambda ) que passa pelos pontos A(2,-4) e B(4,-4) e que tem o centro pertencente a uma reta de equação x-y-1=0.
Escolha uma opção:
  • x^2+y^2-6 x-4 y-24=0
  • x^2+y^2+6 x-4 y-24=0
  • x^2+y^2+6 x+4 y+24=0
  • x^2+y^2-6 x-4 y+24=0
  • x^2+y^2-6 x+4 y-24=0

Passo 1

No enunciado queremos determinar a circunferência lambda que passa por A(2,-4) e B(4,-4) e cujo centro C(h,k) pertence à reta
x - y - 1 = 0
O conteúdo aqui é a forma geral da equação de círculo e a relação entre seus coeficientes e o centro.

Passo 2

A equação geral de um círculo é
x^2+y^2+D,x+E,y+F=0,
cujo centro é l(-tfracD2,-tfracE2r). Como C deve satisfazer x - y -1=0, temos
-tfracD2 - l(-tfracE2r) -1 = 0 Longrightarrow -tfracD2 + tfracE2 -1 = 0 Longrightarrow E = D + 2

Passo 3

Como A e B pertencem ao círculo, substituímos nas equações:
para A(2,-4):
2^2+(-4)^2+Dcdot2+Ecdot(-4)+F=0 Longrightarrow 20 + 2D -4E + F = 0,
para B(4,-4):
4^2+(-4)^2+Dcdot4+Ecdot(-4)+F=0 Longrightarrow 32 + 4D -4E + F = 0

Passo 4

Subtraindo a equação de A da de B elimina E e F:
(32+4D-4E+F)- (20+2D-4E+F)=0 Longrightarrow 12 +2D = 0 Longrightarrow D = -6
Então E = D+2 = -6+2 = -4.

Passo 5

Substituímos D e E na equação de A para achar F:
20 +2(-6) -4(-4) + F = 0 Longrightarrow 20 -12 +16 + F = 0 Longrightarrow 24 + F = 0 Longrightarrow F = -24
Logo a equação é
x^2+y^2-6x-4y-24=0

Resposta

x^2+y^2-6x-4y-24=0

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