Determine K de modo que a reta (r) de equação 3 x+4 y-k=0 seja secante à circunferência (lambda) x^2+y^2-4 x+2 y-4=0.
Escolha uma opção:
( S=m in R mid-13<k<17
  • S=m in R mid 13<k<17
  • S=m in R mid k<-17 ou k>13
  • S=m in R mid k<-13 ou k>17
S=m in R mid k<13 or k>17

Passo 1

O enunciado pede os valores de k tais que a reta
3x+4y-k=0
seja secante à circunferência
x^2+y^2-4x+2y-4=0
O conteúdo aqui é usar a condição de interseção de reta e círculo via comparação da distância do centro da circunferência até a reta com o raio.

Passo 2

Vamos determinar o centro C e o raio r da circunferência completando quadrados em
x^2-4x + y^2+2y -4 =0
Agrupando e completando quadrados:
(x-2)^2-4 + (y+1)^2-1 -4 =0
implies (x-2)^2 + (y+1)^2 = 9
Logo, C=(2,-1) e r=3.

Passo 3

A distância de C=(2,-1) à reta 3x+4y-k=0 é
d = l|3cdot2 + 4cdot(-1) - kr|raiz3^2+4^2 = |6 - 4 - k|5 = |2 - k|5

Passo 4

Para que a reta seja secante, precisamos de duas interseções reais, ou seja
d < r Longrightarrow |2-k|5 < 3
Multiplicando por 5 e resolvendo o valor absoluto:
|2-k| < 15 Longrightarrow -15 < 2 - k < 15 Longrightarrow -13 < k < 17

Passo 5

Entre as opções dadas, a que corresponde exatamente a -13 < k < 17 é
S = m in R mid -13 < k < 17

Resposta

S=kinRmid -13<k<17

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