Determine e classifique os pontos críticos de:
(7.1)
(7.1)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para determinar e classificar os pontos críticos da função
. Para isso, vamos precisar entender sobre derivadas parciais e pontos críticos em funções de duas variáveis. Vamos passo a passo descobrir onde estão esses pontos críticos e se eles são máximos, mínimos ou pontos de sela.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos ocorrem onde as derivadas parciais em relação a todas as variáveis são iguais a zero ou não existem. No nosso caso, como a função
é diferenciável em todo lugar, vamos focar onde as derivadas parciais são zero.
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial em relação a
:
Para encontrar onde essa derivada é zero:
Sabemos que a exponencial nunca é zero, então
implica
.
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial em relação a
:
Para encontrar onde essa derivada é zero:
Novamente, a exponencial nunca é zero, então
implica
.
Passo 5
Então, o único ponto crítico é
. Agora, vamos classificar esse ponto para saber se é um mínimo, máximo ou ponto de sela. Para isso, usamos o teste da Segunda Derivada.
Passo 6
Primeiro, vamos calcular as segundas derivadas parciais:
Passo 7
No ponto crítico
:
Passo 8
Agora, calculamos o discriminante
:
Como
e
, isso indica que o ponto
é um mínimo local.
Resposta
O único ponto crítico é
e ele é um mínimo local.