Determine e classifique os pontos críticos de:
(7.1) z=e^(1+x^2+y^2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para determinar e classificar os pontos críticos da função z = e^1 + x^2 + y^2 . Para isso, vamos precisar entender sobre derivadas parciais e pontos críticos em funções de duas variáveis. Vamos passo a passo descobrir onde estão esses pontos críticos e se eles são máximos, mínimos ou pontos de sela.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos ocorrem onde as derivadas parciais em relação a todas as variáveis são iguais a zero ou não existem. No nosso caso, como a função z = e^1 + x^2 + y^2 é diferenciável em todo lugar, vamos focar onde as derivadas parciais são zero.

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial em relação a x :
partial zpartial x = partialpartial x ( e^1 + x^2 + y^2 ) = e^1 + x^2 + y^2 cdot 2x
Para encontrar onde essa derivada é zero:
e^1 + x^2 + y^2 cdot 2x = 0
Sabemos que a exponencial nunca é zero, então 2x = 0 implica x = 0 .

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial em relação a y :
partial zpartial y = partialpartial y ( e^1 + x^2 + y^2 ) = e^1 + x^2 + y^2 cdot 2y
Para encontrar onde essa derivada é zero:
e^1 + x^2 + y^2 cdot 2y = 0
Novamente, a exponencial nunca é zero, então 2y = 0 implica y = 0 .

Passo 5

Então, o único ponto crítico é (0, 0) . Agora, vamos classificar esse ponto para saber se é um mínimo, máximo ou ponto de sela. Para isso, usamos o teste da Segunda Derivada.

Passo 6

Primeiro, vamos calcular as segundas derivadas parciais:
partial^2 zpartial x^2 = partialpartial x ( e^1 + x^2 + y^2 cdot 2x ) = e^1 + x^2 + y^2 cdot (4x^2 + 2)
partial^2 zpartial y^2 = partialpartial y ( e^1 + x^2 + y^2 cdot 2y ) = e^1 + x^2 + y^2 cdot (4y^2 + 2)
partial^2 zpartial x partial y = partialpartial y ( e^1 + x^2 + y^2 cdot 2x ) = 4xy cdot e^1 + x^2 + y^2

Passo 7

No ponto crítico (0, 0) :
partial^2 zpartial x^2 = e^1 cdot 2
partial^2 zpartial y^2 = e^1 cdot 2
partial^2 zpartial x partial y = 0

Passo 8

Agora, calculamos o discriminante D :
D = ( partial^2 zpartial x^2 ) ( partial^2 zpartial y^2 ) - ( partial^2 zpartial x partial y )^2 = (2e^1)(2e^1) - 0 = 4e^2
Como D > 0 e partial^2 zpartial x^2 > 0 , isso indica que o ponto (0, 0) é um mínimo local.

Resposta

O único ponto crítico é (0, 0) e ele é um mínimo local.

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