Questão 3. Ache a solução geral da equação dada.
Passo 1
Estamos diante da EDO de primeira ordem
que não é nem exata nem imediatamente separável em variáveis
e
. A estratégia será escrever a equação em forma diferencial
e integrar implicitamente, reconhecendo que surgirão integrais do tipo
que se reduzem a combinações de exponenciais e da função integral exponencial
.
Passo 2
Escrevemos
Agora integramos ambos os lados:
Note que na primeira integral
é tratado como constante em relação a
, mas isso apenas serve para indicar que não há termo elementar em
; o resultado ficará implícito em funções de
.
Passo 3
Focamos agora nos dois integrandos em
. Para
e
usamos integração por partes:
-
Para
, tomamos
.
Assim -
Para
, tomamos
.
Assim
Passo 4
Substituindo esses resultados em
vemos que a parte com
se reduz a
como “constante” e ficará absorvida no termo
; o importante é o balanço entre as integrais em
. No fim obtemos a solução implícita
Reagrupando, podemos escrever
Resposta
A solução geral vem dada implicitamente por
onde
.