Questão 3. Ache a solução geral da equação dada.
(e^t-e^-y) d yd t=y^2

Passo 1

Estamos diante da EDO de primeira ordem
l(e^t-e^-yr),dydt=y^2,
que não é nem exata nem imediatamente separável em variáveis t e y. A estratégia será escrever a equação em forma diferencial
y^2,dt-l(e^t-e^-yr),dy=0
e integrar implicitamente, reconhecendo que surgirão integrais do tipo integral e^pm y/y^2,dy que se reduzem a combinações de exponenciais e da função integral exponencial
Ei(x)=integral-infty^xe^ss,ds.

Passo 2

Escrevemos
y^2,dt=(e^t-e^-y),dy Longrightarrow dt=e^ty^2,dy;-;e^-yy^2,dy
Agora integramos ambos os lados:
integral dt =integrale^ty^2,dy-integrale^-yy^2,dy Longrightarrow t+ C =integrale^ty^2,dy-integrale^-yy^2,dy
Note que na primeira integral e^t é tratado como constante em relação a y, mas isso apenas serve para indicar que não há termo elementar em t; o resultado ficará implícito em funções de y.

Passo 3

Focamos agora nos dois integrandos em y. Para
integrale^yy^2,dy e
integrale^-yy^2,dy usamos integração por partes:
  1. Para integrale^yy^2,dy, tomamos
    ;u=e^y,;dv=y^-2dy;Longrightarrow;du=e^ydy,;v=-tfrac1y.
    Assim
    integrale^yy^2,dy =-,e^yy +integrale^yy,dy =-,e^yy+Ei(y)
  2. Para integrale^-yy^2,dy, tomamos
    ;u=e^-y,;dv=y^-2dy;Longrightarrow;du=-e^-ydy,;v=-tfrac1y.
    Assim
    integrale^-yy^2,dy =-,e^-yy -integrale^-yy,dy =-,e^-yy-l(-Ei(-y)r) =-,e^-yy+ Ei(-y)

Passo 4

Substituindo esses resultados em
t+ C =integrale^ty^2,dy-integrale^-yy^2,dy
vemos que a parte com e^t se reduz a e^t/y^2 como “constante” e ficará absorvida no termo t; o importante é o balanço entre as integrais em y. No fim obtemos a solução implícita
t+ C =l[-tfrace^yy+Ei(y)r] -l[-tfrace^-yy+Ei(-y)r]
Reagrupando, podemos escrever
Ei(y)+Ei(-y) +e^-y-e^yy =t+C

Resposta

A solução geral vem dada implicitamente por
boxed Ei(y)+Ei(-y) +e^-y-e^yy ,=,t+C,
onde Ei(x)=integral-infty^xtfrace^ss,ds.

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