Questão 3. Ache a solução geral da equação dada.
y ln t d yd t=(y+1t)^2

Passo 1

O enunciado apresenta a equação diferencial
y,ln t,dydt = l(y+1tr)^2,
que é uma equação de variáveis separáveis. Vamos separar as variáveis y e t para integrar.

Passo 2

Isolamos dydt:
dydt = (y+1)^2t^2,y,ln t
Agora colocamos todos os termos em y de um lado e todos os termos em t do outro:
y(y+1)^2,dy = 1t^2,ln t,dt

Passo 3

Integramos ambos os lados. Primeiro o lado em y:
integral y(y+1)^2,dy = integral l[1y+1 - 1(y+1)^2r],dy = lnlvert y+1rvert + 1y+1

Passo 4

Agora o lado em t. Fazemos a troca u = ln t, de modo que du = dtt, e note que
dtt^2 = 1t,dtt = e^-u,du
Logo
integral 1t^2,ln t,dt = integral e^-uu,du = Ei(-u) + C = Eil(-ln tr) + C,
onde Ei é a função exponencial integral.

Passo 5

Igualando as duas integrais e agrupando a constante de integração, obtemos a solução implícita geral:
lnlvert y+1rvert + 1y+1 = Eil(-ln tr) + C

Resposta

boxedlnlvert y+1rvert + 1y+1 = Eil(-ln tr) + C

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