Determine o valor máximo da derivada direcional da função f no ponto dado e a direção e o sentido em que ocorre: z=e^(2 y) arctg(y3 x), P(1,3)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função z = e^2y arctan(y3x) e precisamos encontrar o valor máximo da derivada direcional dessa função no ponto P(1, 3) . Além disso, queremos saber em qual direção e sentido essa derivada máxima ocorre. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre derivadas direcionais e gradientes, que são ferramentas essenciais no estudo de funções de várias variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é derivada direcional. A derivada direcional de uma função em um ponto e em uma direção específica nos diz a taxa de variação da função nessa direção. Matemáticamente, ela é calculada como o produto do gradiente da função e o vetor unitário na direção desejada.
Para encontrar a derivada direcional máxima, precisamos calcular o gradiente da função no ponto dado. O gradiente é um vetor que aponta na direção de máxima inclinação da função e sua magnitude representa a taxa de variação máxima.

Passo 3

Vamos começar calculando o gradiente da função z . O gradiente nabla z é composto pelas derivadas parciais de z em relação a x e y :
nabla z = ( partial zpartial x, partial zpartial y )
Vamos calcular cada uma dessas derivadas.

Passo 4

Primeiro, a derivada parcial de z em relação a x :
partial zpartial x = e^2y cdot ddx ( arctan(y3x) )
Usando a regra da cadeia, sabemos que a derivada de arctan(u) em relação a x é:
ddx arctan(u) = 11 + u^2 cdot dudx
Então, temos:
partial zpartial x = e^2y cdot 11 + (y3x)^2 cdot ( -y3x^2 )
Simplificando:
partial zpartial x = -e^2y cdot y3x^2 + y^2

Passo 5

Agora, a derivada parcial de z em relação a y :
partial zpartial y = ddy ( e^2y cdot arctan(y3x) )
Aplicando a regra do produto:
partial zpartial y = e^2y cdot 2 cdot arctan(y3x) + e^2y cdot 11 + (y3x)^2 cdot 13x
Simplificando:
partial zpartial y = 2e^2y arctan(y3x) + e^2y cdot 13x + y^23x

Passo 6

Agora que temos as derivadas parciais, vamos calcular o gradiente no ponto P(1, 3) :
Primeiro, substituindo x = 1 e y = 3 na derivada parcial em relação a x :
partial zpartial xg|(1,3) = -e^6 cdot 33(1)^2 + 3^2 = -e^6 cdot 33 + 9 = -e^6 cdot 312 = -e^64
Agora, a derivada parcial em relação a y :
partial zpartial yg|(1,3) = 2e^6 arctan(33(1)) + e^6 cdot 13(1) + 93(1)
Calculando arctan(1) = pi4 :
partial zpartial yg|(1,3) = 2e^6 cdot pi4 + e^6 cdot 13 + 3 = pi e^62 + e^66

Passo 7

Portanto, o gradiente no ponto P(1, 3) é:
nabla z(1,3) = ( -e^64, pi e^62 + e^66 )

Passo 8

O valor máximo da derivada direcional é a magnitude do gradiente:
| nabla z(1,3) | = raiz( -e^64 )^2 + ( pi e^62 + e^66 )^2
Simplificando:
| nabla z(1,3) | = e^6 raiz ( 14 )^2 + ( pi2 + 16 )^2

Passo 9

Agora, para encontrar a direção em que essa derivada máxima ocorre, usamos a direção do gradiente. Isso significa que o vetor direcional será o próprio gradiente normalizado (isto é, dividido pela sua magnitude).
Então, a direção u é:
u = nabla z(1,3)| nabla z(1,3) | = ( -e^64 | nabla z(1,3) | , pi e^62 + e^66 | nabla z(1,3) | )

Passo 10

Finalmente, o sentido é dado pela direção positiva do gradiente, ou seja, na mesma direção que o vetor gradiente calculado.

Resposta

O valor máximo da derivada direcional da função z = e^2y arctan(y3x) no ponto P(1, 3) é e^6 raiz ( 14 )^2 + ( pi2 + 16 )^2 . Essa derivada máxima ocorre na direção do gradiente nabla z(1,3) = ( -e^64, pi e^62 + e^66 ) e segue o sentido desse vetor.

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