Determine o valor máximo da derivada direcional da função f no ponto dado e a direção e o sentido em que ocorre:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função e precisamos encontrar o valor máximo da derivada direcional dessa função no ponto . Além disso, queremos saber em qual direção e sentido essa derivada máxima ocorre. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre derivadas direcionais e gradientes, que são ferramentas essenciais no estudo de funções de várias variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é derivada direcional. A derivada direcional de uma função em um ponto e em uma direção específica nos diz a taxa de variação da função nessa direção. Matemáticamente, ela é calculada como o produto do gradiente da função e o vetor unitário na direção desejada.
Para encontrar a derivada direcional máxima, precisamos calcular o gradiente da função no ponto dado. O gradiente é um vetor que aponta na direção de máxima inclinação da função e sua magnitude representa a taxa de variação máxima.
Passo 3
Vamos começar calculando o gradiente da função . O gradiente é composto pelas derivadas parciais de em relação a e :
Vamos calcular cada uma dessas derivadas.
Passo 4
Primeiro, a derivada parcial de em relação a :
Usando a regra da cadeia, sabemos que a derivada de em relação a é:
Então, temos:
Simplificando:
Passo 5
Agora, a derivada parcial de em relação a :
Aplicando a regra do produto:
Simplificando:
Passo 6
Agora que temos as derivadas parciais, vamos calcular o gradiente no ponto :
Primeiro, substituindo e na derivada parcial em relação a :
Agora, para encontrar a direção em que essa derivada máxima ocorre, usamos a direção do gradiente. Isso significa que o vetor direcional será o próprio gradiente normalizado (isto é, dividido pela sua magnitude).
Finalmente, o sentido é dado pela direção positiva do gradiente, ou seja, na mesma direção que o vetor gradiente calculado.
Resposta
O valor máximo da derivada direcional da função z = e^2y arctan(y3x) no ponto P(1, 3) é e^6 raiz ( 14 )^2 + ( pi2 + 16 )^2 . Essa derivada máxima ocorre na direção do gradiente nabla z(1,3) = ( -e^64, pi e^62 + e^66 ) e segue o sentido desse vetor.