Determine se as integrais abaixo é convergente ou divergente. Se convergente, calcule-a.
integrale^infty d xx(ln x)^2.

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a integral
integrale^infty dxx(ln x)^2
é convergente ou divergente e, em caso afirmativo, calculá-la. O conteúdo aqui é de integrais impróprias em intervalo não limitado, e vamos usar substituição para avaliar.

Passo 2

Observamos que a integral é imprópria devido ao limite superior infinito. Para testar a convergência e calcular, note que a presença de x no denominador junto com (ln x)^2 sugere a substituição
t = ln x,
pois aí aparecerá um dt = dxx.

Passo 3

Fazendo t = ln x temos dt = dx/x. Quando x=e, t=1; quando xtoinfty, ttoinfty. A integral transforma-se em
integrale^inftydxx(ln x)^2 = integral1^inftydtt^2

Passo 4

Agora calculamos
integral1^infty t^-2,dt = limbtoinftyintegral1^b t^-2,dt = limbtoinftyl[-t^-1r]1^b = limbtoinftyl(-tfrac1b + 1r) = 1
Como o resultado é finito, a integral converge e seu valor é 1.

Resposta

A integral converge e vale 1.

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