Determine se as integrais abaixo é convergente ou divergente. Se convergente, calcule-a.
.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a integral
é convergente ou divergente e, em caso afirmativo, calculá-la. O conteúdo aqui é de integrais impróprias em intervalo não limitado, e vamos usar substituição para avaliar.
Passo 2
Observamos que a integral é imprópria devido ao limite superior infinito. Para testar a convergência e calcular, note que a presença de
no denominador junto com
sugere a substituição
pois aí aparecerá um
.
Passo 3
Fazendo
temos
. Quando
,
; quando
,
. A integral transforma-se em
Passo 4
Agora calculamos
Como o resultado é finito, a integral converge e seu valor é
.
Resposta
A integral converge e vale
.