Beleza, vamos lá! A gente tem a função e queremos encontrar e classificar os pontos críticos dela. O conteúdo que vamos usar aqui é o Cálculo Diferencial, especificamente as derivadas parciais para encontrar os pontos críticos e a segunda derivada para classificá-los. Vamos precisar calcular as derivadas parciais de em relação a e , igualá-las a zero e resolver o sistema de equações resultante.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a e .
A derivada parcial de em relação a é:
A derivada parcial de em relação a é:
Passo 3
Agora, para encontrar os pontos críticos, precisamos resolver o sistema de equações onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero:
Vamos resolver esse sistema. Podemos simplificar a segunda equação dividindo todos os termos por 1:
2x + 2y + 1 = 0 Rightarrow x + y = -12
Agora, da primeira equação:
6x + 2y + 2 = 0 Rightarrow 3x + y = -1
Passo 4
Agora temos o sistema simplificado:
3x + y = -1 x + y = -12
Vamos resolver subtraindo a segunda equação da primeira:
(3x + y) - (x + y) = -1 - (-12)
2x = -12 Rightarrow x = -14
Agora que temos o valor de x , vamos substituir na segunda equação para encontrar y :
-14 + y = -12 Rightarrow y = -12 + 14 = -14
Passo 5
Então, encontramos um ponto crítico em ( -14, -14 ) .
Agora, precisamos classificar esse ponto crítico. Para isso, vamos usar a Regra da Segunda Derivada. Primeiro, vamos calcular as segundas derivadas parciais: