Determine e classifique os pontos críticos de: z=3 x^2+2 x y+2 x+y^2+y+4

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função z = 3x^2 + 2xy + 2x + y^2 + y + 4 e queremos encontrar e classificar os pontos críticos dela. O conteúdo que vamos usar aqui é o Cálculo Diferencial, especificamente as derivadas parciais para encontrar os pontos críticos e a segunda derivada para classificá-los. Vamos precisar calcular as derivadas parciais de z em relação a x e y , igualá-las a zero e resolver o sistema de equações resultante.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função z em relação a x e y .
A derivada parcial de z em relação a x é:
partial zpartial x = partialpartial x(3x^2 + 2xy + 2x + y^2 + y + 4) = 6x + 2y + 2
A derivada parcial de z em relação a y é:
partial zpartial y = partialpartial y(3x^2 + 2xy + 2x + y^2 + y + 4) = 2x + 2y + 1

Passo 3

Agora, para encontrar os pontos críticos, precisamos resolver o sistema de equações onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero:
6x + 2y + 2 = 0 2x + 2y + 1 = 0
Vamos resolver esse sistema. Podemos simplificar a segunda equação dividindo todos os termos por 1:
2x + 2y + 1 = 0 Rightarrow x + y = -12
Agora, da primeira equação:
6x + 2y + 2 = 0 Rightarrow 3x + y = -1

Passo 4

Agora temos o sistema simplificado:
3x + y = -1 x + y = -12
Vamos resolver subtraindo a segunda equação da primeira:
(3x + y) - (x + y) = -1 - (-12)
2x = -12 Rightarrow x = -14
Agora que temos o valor de x , vamos substituir na segunda equação para encontrar y :
-14 + y = -12 Rightarrow y = -12 + 14 = -14

Passo 5

Então, encontramos um ponto crítico em ( -14, -14 ) .
Agora, precisamos classificar esse ponto crítico. Para isso, vamos usar a Regra da Segunda Derivada. Primeiro, vamos calcular as segundas derivadas parciais:
fxx = partial^2 zpartial x^2 = 6
fyy = partial^2 zpartial y^2 = 2
fxy = partial^2 zpartial x partial y = 2
O discriminante D é dado por:
D = fxx fyy - (fxy)^2 = (6)(2) - (2)^2 = 12 - 4 = 8

Passo 6

Agora, analisamos o valor de D :
  • Se D > 0 e fxx > 0 , temos um mínimo local.
  • Se D > 0 e fxx < 0 , temos um máximo local.
  • Se D < 0 , o ponto é um ponto de sela.
  • Se D = 0 , o teste é inconclusivo.
No nosso caso, D = 8 > 0 e fxx = 6 > 0 . Portanto, o ponto crítico ( -14, -14 ) é um mínimo local.

Resposta

O ponto crítico da função z = 3x^2 + 2xy + 2x + y^2 + y + 4 é ( -14, -14 ) e é classificado como um mínimo local.

Exercícios relacionados