Determine e classifique os pontos críticos de: z=6 y^2-8 x^2+13 y^3-14 y^4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar e classificar os pontos críticos da função z = 6y^2 - 8x^2 + 13y^3 - 14y^4 . Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais e o teste da segunda derivada para classificar os pontos críticos.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos são aqueles onde as derivadas parciais da função em relação a todas as variáveis são iguais a zero. Ou seja, vamos calcular as derivadas parciais de z em relação a x e y e igualá-las a zero.

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de z em relação a x :
partial zpartial x = partialpartial x (6y^2 - 8x^2 + 13y^3 - 14y^4) = -16x
Agora, a derivada parcial de z em relação a y :
partial zpartial y = partialpartial y (6y^2 - 8x^2 + 13y^3 - 14y^4) = 12y + y^2 - y^3

Passo 4

Em seguida, igualamos as derivadas parciais a zero para encontrar os pontos críticos:
-16x = 0 Rightarrow x = 0
12y + y^2 - y^3 = 0
Vamos resolver a segunda equação para y :
y^3 - y^2 - 12y = 0
Factorando:
y(y^2 - y - 12) = 0
Resolvendo y^2 - y - 12 = 0 usando a fórmula de Bhaskara:
y = 1 pm raiz1 + 482 = 1 pm 72
Então, y = 4 ou y = -3 . Portanto, os pontos críticos são:
(0, 0), (0, 4), (0, -3)

Passo 5

Agora, vamos classificar esses pontos críticos usando o teste da segunda derivada. Para isso, precisamos calcular as segundas derivadas parciais:
partial^2 zpartial x^2 = -16
partial^2 zpartial y^2 = 12 + 2y - 3y^2
partial^2 zpartial x partial y = 0
O discriminante D é dado por:
D = partial^2 zpartial x^2 cdot partial^2 zpartial y^2 - ( partial^2 zpartial x partial y )^2

Passo 6

Vamos calcular D para cada ponto crítico:
  1. Para (0, 0) :
partial^2 zpartial y^2 = 12 + 0 - 0 = 12
D = (-16)(12) - 0 = -192
Como D < 0 , o ponto é um ponto de sela.
  1. Para (0, 4) :
partial^2 zpartial y^2 = 12 + 8 - 48 = -28
D = (-16)(-28) - 0 = 448
Como D > 0 e partial^2 zpartial x^2 < 0 , o ponto é um ponto de máximo relativo.
  1. Para (0, -3) :
partial^2 zpartial y^2 = 12 - 6 - 27 = -21
D = (-16)(-21) - 0 = 336
Como D > 0 e partial^2 zpartial x^2 < 0 , o ponto é um ponto de máximo relativo.

Resposta

Os pontos críticos da função são (0, 0) que é um ponto de sela, (0, 4) e (0, -3) que são pontos de máximo relativo.

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