Determine e classifique os pontos críticos de:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar e classificar os pontos críticos da função
. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais e o teste da segunda derivada para classificar os pontos críticos.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos são aqueles onde as derivadas parciais da função em relação a todas as variáveis são iguais a zero. Ou seja, vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
e igualá-las a zero.
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
Agora, a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 4
Em seguida, igualamos as derivadas parciais a zero para encontrar os pontos críticos:
Vamos resolver a segunda equação para
:
Factorando:
Resolvendo
usando a fórmula de Bhaskara:
Então,
ou
. Portanto, os pontos críticos são:
Passo 5
Agora, vamos classificar esses pontos críticos usando o teste da segunda derivada. Para isso, precisamos calcular as segundas derivadas parciais:
O discriminante
é dado por:
Passo 6
Vamos calcular
para cada ponto crítico:
- Para
:
Como
, o ponto é um ponto de sela.
- Para
:
Como
e
, o ponto é um ponto de máximo relativo.
- Para
:
Como
e
, o ponto é um ponto de máximo relativo.
Resposta
Os pontos críticos da função são
que é um ponto de sela,
e
que são pontos de máximo relativo.