Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é determinar e classificar os pontos críticos da função . Isso faz parte da matemática de várias variáveis, especificamente usando derivadas parciais para encontrar onde a função tem máximos, mínimos ou pontos de sela. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de em relação a e , igualar elas a zero e resolver o sistema de equações resultante. Depois, vamos classificar esses pontos usando o teste da segunda derivada.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e .
A derivada parcial de em relação a é obtida tratando como uma constante:
Já a derivada parcial de em relação a é:
Passo 3
Agora, para encontrar os pontos críticos, precisamos resolver o sistema onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero:
Vamos simplificar esse sistema dividindo ambas as equações por 2:
x(y^2 - 4) = 0 y(x^2 - 1) = 0
Agora, analisamos cada equação separadamente.
Passo 4
Vamos começar com a primeira equação:
x(y^2 - 4) = 0
Isso nos dá duas possibilidades:
x = 0
y^2 - 4 = 0 que implica y = pm 2
Vamos considerar cada caso:
Caso 1: x = 0
Substituindo x = 0 na segunda equação y(x^2 - 1) = 0 :