Determine e classifique os pontos críticos de: z=(x^2-1)(y^2-4)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é determinar e classificar os pontos críticos da função z = (x^2 - 1)(y^2 - 4) . Isso faz parte da matemática de várias variáveis, especificamente usando derivadas parciais para encontrar onde a função tem máximos, mínimos ou pontos de sela. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de z em relação a x e y , igualar elas a zero e resolver o sistema de equações resultante. Depois, vamos classificar esses pontos usando o teste da segunda derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de z em relação a x e y .
A derivada parcial de z em relação a x é obtida tratando y como uma constante:
partial zpartial x = partialpartial x ( (x^2 - 1)(y^2 - 4) ) = 2x(y^2 - 4)
Já a derivada parcial de z em relação a y é:
partial zpartial y = partialpartial y ( (x^2 - 1)(y^2 - 4) ) = (x^2 - 1) cdot 2y

Passo 3

Agora, para encontrar os pontos críticos, precisamos resolver o sistema onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero:
2x(y^2 - 4) = 0 2y(x^2 - 1) = 0
Vamos simplificar esse sistema dividindo ambas as equações por 2:
x(y^2 - 4) = 0 y(x^2 - 1) = 0
Agora, analisamos cada equação separadamente.

Passo 4

Vamos começar com a primeira equação:
x(y^2 - 4) = 0
Isso nos dá duas possibilidades:
  1. x = 0
  2. y^2 - 4 = 0 que implica y = pm 2
Vamos considerar cada caso:
Caso 1: x = 0
Substituindo x = 0 na segunda equação y(x^2 - 1) = 0 :
y(0 - 1) = 0 Rightarrow -y = 0 Rightarrow y = 0
Então, temos o ponto crítico (0, 0) .
Caso 2: y = pm 2
Substituindo y = 2 na segunda equação:
2(x^2 - 1) = 0 Rightarrow x^2 - 1 = 0 Rightarrow x = pm 1
Então, temos os pontos críticos (1, 2) e (-1, 2) .
Substituindo y = -2 na segunda equação:
-2(x^2 - 1) = 0 Rightarrow x^2 - 1 = 0 Rightarrow x = pm 1
E assim, os pontos críticos são (1, -2) e (-1, -2) .

Passo 5

Agora que encontramos os pontos críticos (0, 0) , (1, 2) , (-1, 2) , (1, -2) e (-1, -2) , vamos classificá-los usando o teste da segunda derivada.
Primeiro, calculamos as segundas derivadas parciais:
partial^2 zpartial x^2 = partialpartial x ( 2x(y^2 - 4) ) = 2(y^2 - 4)
partial^2 zpartial y^2 = partialpartial y ( 2y(x^2 - 1) ) = 2(x^2 - 1)
E a derivada mista:
partial^2 zpartial x partial y = partialpartial y ( 2x(y^2 - 4) ) = 4xy
Agora, calculamos o determinante da matriz Hessiana (D):
D = partial^2 zpartial x^2 cdot partial^2 zpartial y^2 - ( partial^2 zpartial x partial y )^2
Vamos calcular D para cada ponto crítico.

Passo 6

1. Ponto (0, 0) :
partial^2 zpartial x^2 = 2(0^2 - 4) = -8
partial^2 zpartial y^2 = 2(0^2 - 1) = -2
partial^2 zpartial x partial y = 4 cdot 0 cdot 0 = 0
D = (-8) cdot (-2) - (0)^2 = 16 > 0
Como D > 0 e partial^2 zpartial x^2 < 0 , o ponto é um ponto de máximo relativo.
2. Ponto (1, 2) :
partial^2 zpartial x^2 = 2(2^2 - 4) = 0
partial^2 zpartial y^2 = 2(1^2 - 1) = 0
partial^2 zpartial x partial y = 4 cdot 1 cdot 2 = 8
D = 0 cdot 0 - (8)^2 = -64 < 0
Como D < 0 , o ponto é um ponto de sela.
3. Ponto (-1, 2) :
partial^2 zpartial x^2 = 2(2^2 - 4) = 0
partial^2 zpartial y^2 = 2((-1)^2 - 1) = 0
partial^2 zpartial x partial y = 4 cdot (-1) cdot 2 = -8
D = 0 cdot 0 - (-8)^2 = -64 < 0
Como D < 0 , o ponto é um ponto de sela.
4. Ponto (1, -2) :
partial^2 zpartial x^2 = 2((-2)^2 - 4) = 0
partial^2 zpartial y^2 = 2(1^2 - 1) = 0
partial^2 zpartial x partial y = 4 cdot 1 cdot (-2) = -8
D = 0 cdot 0 - (-8)^2 = -64 < 0
Como D < 0 , o ponto é um ponto de sela.
5. Ponto (-1, -2) :
partial^2 zpartial x^2 = 2((-2)^2 - 4) = 0
partial^2 zpartial y^2 = 2((-1)^2 - 1) = 0
partial^2 zpartial x partial y = 4 cdot (-1) cdot (-2) = 8
D = 0 cdot 0 - (8)^2 = -64 < 0
Como D < 0 , o ponto é um ponto de sela.

Resposta

Os pontos críticos da função z = (x^2 - 1)(y^2 - 4) são:
  • (0, 0) : ponto de máximo relativo.
  • (1, 2) , (-1, 2) , (1, -2) e (-1, -2) : todos pontos de sela.

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