Use o teorema de Stokes para calcular a integral de linha ointC F cdot d R onde F(x, y, z)=x z i+x y j+y^2 k e C é a fronteira orientada da superfície que consiste na parte do cilindro z=4-x^2 no primeiro octante que é delimitada pelos planos coordenados e pelo plano y=3.

Passo 1

O enunciado nos pede a integral de linha
ointCFcdot dR
onde F(x,y,z)=(xz,,xy,,y^2) e C é a fronteira da superfície S dada por
z=4 - x^2, x>=0,;y>=0,;z>=0,;y<=3
Como C fecha S, usamos o Teorema de Stokes:
ointCFcdot dR =integral duplaS(nablatimesF)cdot dS

Passo 2

Calculamos o rotacional nablatimesF. Com
P=xz, Q=xy, R=y^2,
obtemos
nablatimesF =l(Ry-Qz,;Pz-Rx,;Qx-Pyr) =(2y,;x,;y)

Passo 3

Parametrizamos S por
r(x,y)=(x,;y,;4-x^2),
com (x,y) em
D=(x,y)mid 0<= x<=2,;0<= y<=3,
pois 4-x^2>=0 0<= x<=2.

Passo 4

Calculamos
rx=(1,0,-2x), ry=(0,1,0),
e
rxtimesry=(2x,0,1)
Então
(nablatimesF)(r(x,y))cdot(rxtimesry) =(2y,;x,;y)cdot(2x,0,1) =4xy+y =y(4x+1)

Passo 5

Fazemos a integral dupla sobre D:
integral duplaS(nablatimesF)cdot dS =integral0^3!integral0^2y(4x+1),dx,dy
Primeiro em x:
integral0^2y(4x+1),dx =yl[2cdot4 +1cdot2r] =y(8+2)=10y
Depois em y:
integral0^310y,dy =10cdot3^22 =45

Resposta

45

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