Determine e classifique os pontos críticos de: z=y^2 x+2 y x+2 x^2-3 x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar e classificar os pontos críticos da função z = y^2x + 2yx + 2x^2 - 3x . Para isso, vamos usar cálculo de funções de várias variáveis, especificamente encontrando derivadas parciais e analisando essas derivadas para identificar os pontos onde a função pode ter máximos, mínimos ou pontos de sela.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a x e y . As derivadas parciais nos ajudam a entender como a função muda quando a gente varia uma das variáveis, mantendo a outra fixa.
A derivada parcial de z em relação a x é:
partial zpartial x = y^2 + 2y + 4x - 3
E a derivada parcial de z em relação a y é:
partial zpartial y = 2yx + 2x

Passo 3

Agora, para encontrar os pontos críticos, a gente precisa achar onde essas derivadas parciais são iguais a zero. Ou seja, resolver o sistema de equações:
y^2 + 2y + 4x - 3 = 0 2yx + 2x = 0

Passo 4

Vamos resolver a segunda equação primeiro:
2x(y + 1) = 0
Isso nos dá duas possibilidades:
  1. x = 0
  2. y + 1 = 0 ou seja, y = -1
Vamos analisar cada caso separadamente.
Caso 1: x = 0
Substituindo x = 0 na primeira equação:
y^2 + 2y - 3 = 0
Resolvendo essa equação quadrática:
(y + 3)(y - 1) = 0
Portanto, y = -3 ou y = 1 .
Então, temos dois pontos críticos:
  • (0, -3)
  • (0, 1)
Caso 2: y = -1
Substituindo y = -1 na primeira equação:
(-1)^2 + 2(-1) + 4x - 3 = 0 1 - 2 + 4x - 3 = 0 4x - 4 = 0 4x = 4 x = 1
Então, o ponto crítico é:
  • (1, -1)

Passo 5

Agora que encontramos os pontos críticos (0, -3), (0, 1) e (1, -1), vamos classificá-los. Para isso, usamos o teste da segunda derivada, que envolve calcular as derivadas parciais de segunda ordem e o determinante da matriz Hessiana.

Passo 6

Vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem:
partial^2 zpartial x^2 = 4
partial^2 zpartial y^2 = 2x cdot 2 = 2x (já que partial zpartial y = 2yx + 2x) á
partial^2 zpartial x partial y = partialpartial y( y^2 + 2y + 4x - 3 ) = 2y + 2

Passo 7

O determinante da matriz Hessiana D é dado por:
D = partial^2 zpartial x^2 cdot partial^2 zpartial y^2 - ( partial^2 zpartial x partial y )^2
Vamos calcular D para cada ponto crítico.
Para (0, -3):
partial^2 zpartial y^2 = 2(0) = 0 partial^2 zpartial x partial y = 2(-3) + 2 = -6 + 2 = -4 D = 4 cdot 0 - (-4)^2 = 0 - 16 = -16
Para (0, 1):
partial^2 zpartial y^2 = 2(0) = 0 partial^2 zpartial x partial y = 2(1) + 2 = 2 + 2 = 4 D = 4 cdot 0 - (4)^2 = 0 - 16 = -16
Para (1, -1):
partial^2 zpartial y^2 = 2(1) = 2 partial^2 zpartial x partial y = 2(-1) + 2 = -2 + 2 = 0 D = 4 cdot 2 - (0)^2 = 8 - 0 = 8

Passo 8

Agora, vamos classificar os pontos com base no determinante D :
  • Se D > 0 e partial^2 zpartial x^2 > 0 , é um mínimo local.
  • Se D > 0 e partial^2 zpartial x^2 < 0 , é um máximo local.
  • Se D < 0 , é um ponto de sela.
  • Se D = 0 , o teste é inconclusivo.
Para (0, -3) e (0, 1):
D = -16 < 0 → Pontos de sela.
Para (1, -1):
D = 8 > 0 e partial^2 zpartial x^2 = 4 > 0 → Mínimo local.

Resposta

A função possui três pontos críticos:
  • (0, -3): ponto de sela;
  • (0, 1): ponto de sela;
  • (1, -1): mínimo local.

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