Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar e classificar os pontos críticos da função . Para isso, vamos usar cálculo de funções de várias variáveis, especificamente encontrando derivadas parciais e analisando essas derivadas para identificar os pontos onde a função pode ter máximos, mínimos ou pontos de sela.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a e . As derivadas parciais nos ajudam a entender como a função muda quando a gente varia uma das variáveis, mantendo a outra fixa.
A derivada parcial de em relação a é:
E a derivada parcial de em relação a é:
Passo 3
Agora, para encontrar os pontos críticos, a gente precisa achar onde essas derivadas parciais são iguais a zero. Ou seja, resolver o sistema de equações:
Agora que encontramos os pontos críticos (0, -3), (0, 1) e (1, -1), vamos classificá-los. Para isso, usamos o teste da segunda derivada, que envolve calcular as derivadas parciais de segunda ordem e o determinante da matriz Hessiana.
Passo 6
Vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem:
partial^2 zpartial x^2 = 4
partial^2 zpartial y^2 = 2x cdot 2 = 2x (já que partial zpartial y = 2yx + 2x) á
partial^2 zpartial x partial y = partialpartial y( y^2 + 2y + 4x - 3 ) = 2y + 2
Passo 7
O determinante da matriz Hessiana D é dado por:
D = partial^2 zpartial x^2 cdot partial^2 zpartial y^2 - ( partial^2 zpartial x partial y )^2