Determine e classifique os pontos críticos de
f(x, y)=34 x^2+124 x^3-132 x^4-y^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente determinar e classificar os pontos críticos da função f(x, y) = 34x^2 + 124x^3 - 132x^4 - y^2 . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais e o teste das segundas derivadas. Precisamos encontrar onde as derivadas parciais se anulam e então descobrir se esses pontos são máximos, mínimos ou pontos de sela.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de f em relação a x e y .
A derivada parcial de f em relação a x é:
fx = partial fpartial x = 32x + 18x^2 - 18x^3
E a derivada parcial de f em relação a y é:
fy = partial fpartial y = -2y

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos resolvendo o sistema onde as derivadas parciais são iguais a zero:
fx = 0 fy = 0
Primeiro, de fy = 0 :
-2y = 0 implies y = 0
Agora, substituímos y = 0 na equação de fx = 0 :
32x + 18x^2 - 18x^3 = 0
Podemos multiplicar toda a equação por 8 para eliminar os denominadores:
12x + x^2 - x^3 = 0 implies x(x^2 - x - 12) = 0
Resolvendo a equação:
x = 0 ou x^2 - x - 12 = 0
Resolvendo a equação quadrática:
x = 1 pm raiz1 + 482 = 1 pm 72
Então, x = 4 ou x = -3 .
Portanto, os pontos críticos são:
(0, 0), (4, 0), (-3, 0)

Passo 4

Para classificar esses pontos críticos, vamos usar o teste das segundas derivadas. Precisamos calcular as segundas derivadas e o discriminante D :
fxx = partial^2 fpartial x^2 = 32 + 14x - 38x^2
fyy = partial^2 fpartial y^2 = -2
fxy = partial^2 fpartial x partial y = 0
O discriminante é dado por:
D = fxxfyy - (fxy)^2
Vamos calcular D para cada ponto crítico.
  1. Para (0, 0) :
fxx(0) = 32 + 0 - 0 = 32
D = 32 times (-2) - 0 = -3 < 0
Como D < 0 , o ponto é um ponto de sela.
  1. Para (4, 0) :
fxx(4) = 32 + 14(4) - 38(16) = 32 + 1 - 6 = -52
D = -52 times (-2) - 0 = 5 > 0
Como fxx < 0 e D > 0 , o ponto é um máximo local.
  1. Para (-3, 0) :
fxx(-3) = 32 + 14(-3) - 38(9) = 32 - 34 - 278 = 128 - 68 - 278 = -218
D = -218 times (-2) - 0 = 428 = 214 > 0
Como fxx < 0 e D > 0 , o ponto é um máximo local.

Resposta

Os pontos críticos da função são (0, 0) que é um ponto de sela, (4, 0) e (-3, 0) ambos são máximos locais.

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