Determine e classifique os pontos críticos de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente determinar e classificar os pontos críticos da função
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais e o teste das segundas derivadas. Precisamos encontrar onde as derivadas parciais se anulam e então descobrir se esses pontos são máximos, mínimos ou pontos de sela.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
.
A derivada parcial de
em relação a
é:
E a derivada parcial de
em relação a
é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos resolvendo o sistema onde as derivadas parciais são iguais a zero:
Primeiro, de
:
Agora, substituímos
na equação de
:
Podemos multiplicar toda a equação por 8 para eliminar os denominadores:
Resolvendo a equação:
Resolvendo a equação quadrática:
Então,
ou
.
Portanto, os pontos críticos são:
Passo 4
Para classificar esses pontos críticos, vamos usar o teste das segundas derivadas. Precisamos calcular as segundas derivadas e o discriminante
:
O discriminante é dado por:
Vamos calcular
para cada ponto crítico.
- Para
:
Como
, o ponto é um ponto de sela.
- Para
:
Como
e
, o ponto é um máximo local.
- Para
:
Como
e
, o ponto é um máximo local.
Resposta
Os pontos críticos da função são
que é um ponto de sela,
e
ambos são máximos locais.