Determine e classifique os pontos críticos de cada função.
(vii-sorteio)
(vii-sorteio)
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede para encontrar e classificar os pontos críticos. O método envolve dois tópicos de cálculo em várias variáveis:
- Igualar o gradiente de
a zero para achar os pontos críticos. - Usar o Hessiano para determinar se cada ponto é mínimo, máximo ou ponto de sela.
Passo 2
Calcular as derivadas parciais primeiras de
:
Passo 3
Para achar os pontos críticos, impomos
Esse polinômio fatoriza em
, logo
Passo 4
Em cada valor de
acima, usamos
para obter
:
Para
:
Para
:
Passo 5
Os pontos críticos são
Passo 6
Agora calculamos as derivadas segundas para montar o Hessiano.
O determinante do Hessiano é
Passo 7
Em cada ponto crítico
(porque
para
ou
). Quando o determinante do Hessiano é negativo, o ponto crítico é ponto de sela.
Resposta
Os pontos críticos são
e
. Cada um deles é um ponto de sela.