Determine e classifique os pontos críticos de cada função.
(vii-sorteio) f(x, y)=x^{2} y+3 x y-3 x^{2}-4 x+2 y

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x,y)=x^{2}y+3xy-3x^{2}-4x+2y
e pede para encontrar e classificar os pontos críticos. O método envolve dois tópicos de cálculo em várias variáveis:
  1. Igualar o gradiente de f a zero para achar os pontos críticos.
  2. Usar o Hessiano para determinar se cada ponto é mínimo, máximo ou ponto de sela.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais primeiras de f:
\frac{\partial f}{\partial x} =2xy+3y-6x-4,
\frac{\partial f}{\partial y} =x^{2}+3x+2.

Passo 3

Para achar os pontos críticos, impomos
\frac{\partial f}{\partial y}=0 \;\Longrightarrow\; x^{2}+3x+2=0.
Esse polinômio fatoriza em (x+1)(x+2)=0, logo
x=-1 \quad\text{ou}\quad x=-2.

Passo 4

Em cada valor de x acima, usamos \partial f/\partial x=0 para obter y:
2x\,y+3y-6x-4=0 \;\Longrightarrow\; y\,(2x+3)=6x+4 \;\Longrightarrow\; y=\frac{6x+4}{2x+3}.
Para x=-1:
y=\frac{6(-1)+4}{2(-1)+3} =\frac{-6+4}{-2+3} =\frac{-2}{1}=-2.
Para x=-2:
y=\frac{6(-2)+4}{2(-2)+3} =\frac{-12+4}{-4+3} =\frac{-8}{-1}=8.

Passo 5

Os pontos críticos são
(-1,-2) \quad\text{e}\quad (-2,8).

Passo 6

Agora calculamos as derivadas segundas para montar o Hessiano.
f_{xx}=\frac{\partial}{\partial x}(2xy+3y-6x-4)=2y-6,
f_{xy}=\frac{\partial}{\partial y}(2xy+3y-6x-4)=2x+3,
f_{yy}=\frac{\partial}{\partial y}(x^{2}+3x+2)=0.
O determinante do Hessiano é
D=f_{xx}\,f_{yy}-(f_{xy})^{2} = (2y-6)\cdot 0 \;-\;(2x+3)^{2} =-\,(2x+3)^{2}.

Passo 7

Em cada ponto crítico D<0 (porque (2x+3)^{2}>0 para x=-1 ou -2). Quando o determinante do Hessiano é negativo, o ponto crítico é ponto de sela.

Resposta

Os pontos críticos são (-1,-2) e (-2,8). Cada um deles é um ponto de sela.

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