Determine e classifique os pontos críticos de:
f(x, y)=6 x-4 y-x^{2}-2 y^{2};

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  • Determinar os pontos críticos da função \,f(x,y)=6x-4y-x^{2}-2y^{2}.
  • Classificar cada ponto crítico encontrado (máximo local, mínimo local ou ponto de sela).
Informações dadas:
  • A função é \,f(x,y)=6x-4y-x^{2}-2y^{2}.
  • Não há restrições no domínio (assume-se domínio todo \mathbb{R}^{2}).

Passo 2

O que é um ponto crítico e como achar: um ponto crítico é um ponto onde o gradiente de f se anula, isto é, onde as derivadas parciais primeiras são zero.
Derivada parcial significa derivar a função em relação a uma variável tratando a outra como constante. Por exemplo, para derivar em relação a x mantenho y fixo.
Calcule as derivadas parciais primeiras:
  • Para \dfrac{\partial f}{\partial x}: derivando termo a termo, \dfrac{\partial}{\partial x}\big(6x\big)=6,\qquad \dfrac{\partial}{\partial x}\big(-x^{2}\big)=-2x,e os termos que dependem só de y (como -4y e -2y^{2}) têm derivada zero em relação a x. Logo \dfrac{\partial f}{\partial x}=6-2x.
  • Para \dfrac{\partial f}{\partial y}: derivando termo a termo, \dfrac{\partial}{\partial y}\big(-4y\big)=-4,\qquad \dfrac{\partial}{\partial y}\big(-2y^{2}\big)=-4y,e os termos que dependem só de x têm derivada zero em relação a y. Logo \dfrac{\partial f}{\partial y}=-4-4y.

Passo 3

Agora impomos que as derivadas parciais primeiras sejam zero (gradiente nulo):
\begin{cases} \dfrac{\partial f}{\partial x}=6-2x=0,\\[6pt] \dfrac{\partial f}{\partial y}=-4-4y=0. \end{cases}
Resolva cada equação:
  • Da primeira: 6-2x=0\Rightarrow 2x=6\Rightarrow x=3.
  • Da segunda: -4-4y=0\Rightarrow -4y=4\Rightarrow y=-1.
Portanto existe exatamente um ponto crítico: \,(x,y)=(3,-1).]

Passo 4

Como classificar o ponto crítico: usa-se a matriz Hessiana e o teste do determinante para funções de duas variáveis.
Definições rápidas e intuitivas:
  • A segunda derivada parcial em x é \dfrac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}=f_{xx}.
  • A segunda derivada parcial em y é \dfrac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}}=f_{yy}.
  • A derivada mista é \dfrac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}=f_{xy}.
O teste de classificação (para um ponto crítico em duas variáveis) usa o valor
D = f_{xx}\,f_{yy} - \big(f_{xy}\big)^{2}
avaliado no ponto crítico. Interpretação:
  • Se D>0 e f_{xx}>0 então mínimo local.
  • Se D>0 e f_{xx}<0 então máximo local.
  • Se D<0 então ponto de sela.
  • Se D=0 o teste é inconclusivo.

Passo 5

Calcule as segundas derivadas (são constantes aqui, pois f é um polinômio quadrático):
  • A partir de \dfrac{\partial f}{\partial x}=6-2x, temos f_{xx}=\dfrac{\partial}{\partial x}(6-2x)=-2.
  • A partir de \dfrac{\partial f}{\partial y}=-4-4y, temos f_{yy}=\dfrac{\partial}{\partial y}(-4-4y)=-4.
  • As derivadas mistas são zero porque \dfrac{\partial}{\partial y}(6-2x)=0 e \dfrac{\partial}{\partial x}(-4-4y)=0, logo f_{xy}=f_{yx}=0.
Calcule D:
D = f_{xx}\,f_{yy} - \big(f_{xy}\big)^{2}=(-2)\cdot(-4)-0^{2}=8.
Temos D=8>0. Além disso f_{xx}=-2<0. Pelo critério do passo anterior, isso indica que o ponto crítico é um máximo local (a função é côncava “para baixo” na direção de x e também na de y).
Opcional: valor da função no ponto crítico (útil para a prova):
f(3,-1)=6\cdot3-4\cdot(-1)-3^{2}-2(-1)^{2}=18+4-9-2=11.

Resposta

(3,-1) — máximo local, com f(3,-1)=11

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