A temperatura de uma chapa plana é dada por T(x, y)=x^{2}+y^{2} ( \mathrm{T} \mathrm{em}{ }^{0} C, x e y \mathrm{em} \mathrm{cm} ).
Determine, a partir do ponto (1,2), em que direção devemos seguir a fim de que a temperatura permaneça constante;

Passo 1

O enunciado dá a temperatura da chapa e pede uma direção a partir de um ponto em que a temperatura não mude. Informações e pedido, claramente:
  • Função temperatura: T(x,y)=x^{2}+y^{2}.
  • Unidade: T em ^\circ\text{C}, x,y em cm (informação de unidade útil para interpretação, mas não altera contas).
  • Ponto inicial: (1,2).
  • Pergunta: a partir do ponto (1,2), em que direção devemos seguir para que a temperatura permaneça constante?

Passo 2

Conceito-chave (explicado devagar e sem pular passos): o que significa “temperatura permanecer constante” ao seguir numa direção?
  • Se andamos numa certa direção a partir de (1,2), estamos percorrendo uma curva cujo vetor tangente naquele ponto é algum vetor v.
  • A temperatura permanece constante nessa direção se, infinitesimalmente, a variação de T ao longo dessa direção for zero. Em cálculo isso se mede pela derivada direcional de T na direção unitária u (vetor de norma 1).
  • Fórmula da derivada direcional: a derivada de T na direção de u é
D_{u}T=\nabla T\cdot u,
onde \nabla T é o gradiente de T e \cdot é o produto escalar.
  • Interpretação: \nabla T aponta para a direção de maior crescimento de T. Logo, se queremos não alterar T, devemos mover-nos numa direção ortogonal a \nabla T (porque produto escalar zero significa ortogonalidade).

Passo 3

Calcular o gradiente de T e avaliá-lo em (1,2).
  • O gradiente de uma função T(x,y) é o vetor das derivadas parciais:
\nabla T = \left(\frac{\partial T}{\partial x},\;\frac{\partial T}{\partial y}\right).
  • Para T(x,y)=x^{2}+y^{2} temos
\frac{\partial T}{\partial x}=2x,\qquad \frac{\partial T}{\partial y}=2y.
  • Logo
\nabla T(x,y)=(2x,\,2y).
  • Avaliando em (1,2):
\nabla T(1,2)=(2\cdot1,\,2\cdot2)=(2,4).

Passo 4

Impor a condição de variação nula e resolver para a direção.
  • Se v=(v_{1},v_{2}) é um vetor tangente à direção desejada (qualquer múltiplo não-nulo serve), a condição para temperatura constante é
\nabla T(1,2)\cdot v=0.
  • Substituindo \nabla T(1,2)=(2,4):
(2,4)\cdot(v_{1},v_{2})=2v_{1}+4v_{2}=0.
  • Simplificando:
v_{1}+2v_{2}=0 \quad\Rightarrow\quad v_{1}=-2v_{2}.
  • Assim qualquer vetor da forma v=(-2t,\,t) (com t\neq0) é tangente ao nível de temperatura em (1,2). Um representante simples é v=(-2,1). Note que o oposto v=(2,-1) indica a mesma reta na direção contrária — ambas preservam T.

Passo 5

Apresentar a direção unitária (útil na prática) e checar.
  • Normalizando v=(-2,1) para obter a direção unitária:
\|v\|=\sqrt{(-2)^{2}+1^{2}}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}.
  • Portanto as direções unitárias que preservam a temperatura são
u=\pm\frac{(-2,1)}{\sqrt{5}}.
  • Checagem rápida (produto escalar zero):
\nabla T(1,2)\cdot\frac{(-2,1)}{\sqrt{5}}=\frac{1}{\sqrt{5}}\big(2\cdot(-2)+4\cdot1\big)=\frac{-4+4}{\sqrt{5}}=0,
confirmando que a derivada direcional é nula e, logo, a temperatura não varia.

Resposta

\pm\frac{(-2,1)}{\sqrt{5}}

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