A temperatura de uma chapa plana é dada por
(
e
).
Determine, a partir do ponto
, em que direção devemos seguir a fim de que a temperatura permaneça constante;
Determine, a partir do ponto
Passo 1
O enunciado dá a temperatura da chapa e pede uma direção a partir de um ponto em que a temperatura não mude. Informações e pedido, claramente:
- Função temperatura:
. - Unidade:
em , em cm (informação de unidade útil para interpretação, mas não altera contas). - Ponto inicial:
. - Pergunta: a partir do ponto
, em que direção devemos seguir para que a temperatura permaneça constante?
Passo 2
Conceito-chave (explicado devagar e sem pular passos): o que significa “temperatura permanecer constante” ao seguir numa direção?
- Se andamos numa certa direção a partir de
, estamos percorrendo uma curva cujo vetor tangente naquele ponto é algum vetor . - A temperatura permanece constante nessa direção se, infinitesimalmente, a variação de
ao longo dessa direção for zero. Em cálculo isso se mede pela derivada direcional de na direção unitária (vetor de norma ). - Fórmula da derivada direcional: a derivada de
na direção de é
onde
é o gradiente de
e
é o produto escalar.
- Interpretação:
aponta para a direção de maior crescimento de . Logo, se queremos não alterar , devemos mover-nos numa direção ortogonal a (porque produto escalar zero significa ortogonalidade).
Passo 3
Calcular o gradiente de
e avaliá-lo em
.
- O gradiente de uma função
é o vetor das derivadas parciais:
- Para
temos
- Logo
- Avaliando em
:
Passo 4
Impor a condição de variação nula e resolver para a direção.
- Se
é um vetor tangente à direção desejada (qualquer múltiplo não-nulo serve), a condição para temperatura constante é
- Substituindo
:
- Simplificando:
- Assim qualquer vetor da forma
(com ) é tangente ao nível de temperatura em . Um representante simples é . Note que o oposto indica a mesma reta na direção contrária — ambas preservam .
Passo 5
Apresentar a direção unitária (útil na prática) e checar.
- Normalizando
para obter a direção unitária:
- Portanto as direções unitárias que preservam a temperatura são
- Checagem rápida (produto escalar zero):
confirmando que a derivada direcional é nula e, logo, a temperatura não varia.