USE MULTIPLICADORES DE LAGRANGE PARA ENCONTRAR OS VALORES EXTREMOS DA FUNÇÃO
l f(x, y)=x^2-10 x-y^2 RESTRITA A ELIPSE x^2+4 y^2=16 (maximo EMínimo)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de otimização usando multiplicadores de Lagrange. A gente quer encontrar os valores máximos e mínimos da função f(x, y) = x^2 - 10x - y^2 que está restrita a uma elipse dada por x^2 + 4y^2 = 16 . Para isso, vamos usar os multiplicadores de Lagrange, que são uma técnica para otimizar uma função sujeita a uma restrição.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são multiplicadores de Lagrange. É uma estratégia que permite encontrar os pontos onde a função que queremos otimizar (no caso, f(x, y) ) tem seus extremos, enquanto respeita a restrição (a elipse). Basicamente, a gente cria uma nova função chamada de função de Lagrange, que combina a função original e a restrição usando um multiplicador, que geralmente chamamos de lambda .

Passo 3

A função de Lagrange fica assim:
L(x, y, lambda) = f(x, y) - lambda (g(x, y) - c)
onde g(x, y) = x^2 + 4y^2 e c = 16 .
Então, nossa função de Lagrange será:
L(x, y, lambda) = x^2 - 10x - y^2 - lambda (x^2 + 4y^2 - 16)

Passo 4

Agora, vamos encontrar as derivadas parciais dessa função em relação a x , y e lambda e igualar cada uma a zero. Isso nos dará um sistema de equações que vamos resolver para encontrar os pontos extremos.
Derivando em relação a x :
partial Lpartial x = 2x - 10 - 2lambda x = 0
Derivando em relação a y :
partial Lpartial y = -2y - 8lambda y = 0
Derivando em relação a lambda :
partial Lpartial lambda = -(x^2 + 4y^2 - 16) = 0 ou seja, x^2 + 4y^2 = 16

Passo 5

Vamos resolver o sistema de equações:
  1. 2x - 10 - 2lambda x = 0
  2. -2y - 8lambda y = 0
  3. x^2 + 4y^2 = 16
Primeiro, da segunda equação, podemos fatorar:
-2y(1 + 4lambda) = 0
Isso dá duas possibilidades:
  • y = 0
  • 1 + 4lambda = 0 então lambda = -14
Vamos analisar cada caso.
Caso 1: y = 0
Substituindo y = 0 na restrição:
x^2 = 16 Rightarrow x = pm 4
Agora, vamos encontrar lambda usando a primeira equação:
Para x = 4 :
2(4) - 10 - 2lambda(4) = 0 Rightarrow 8 - 10 - 8lambda = 0 Rightarrow -2 - 8lambda = 0 Rightarrow lambda = -28 = -14
Para x = -4 :
2(-4) - 10 - 2lambda(-4) = 0 Rightarrow -8 - 10 + 8lambda = 0 Rightarrow -18 + 8lambda = 0 Rightarrow lambda = 188 = 94
Caso 2: lambda = -14
Substituindo lambda = -14 na primeira equação:
2x - 10 - 2(-14)x = 0 Rightarrow 2x - 10 + 12x = 0 Rightarrow 52x = 10 Rightarrow x = 4
Agora, substituindo x = 4 na restrição:
4^2 + 4y^2 = 16 Rightarrow 16 + 4y^2 = 16 Rightarrow 4y^2 = 0 Rightarrow y = 0

Resposta

Os valores extremos da função f(x, y) = x^2 - 10x - y^2 restrita à elipse x^2 + 4y^2 = 16 ocorrem nos pontos:
(4, , 0) e (-4, , 0)
O ponto (4, 0) corresponde a um máximo e o ponto (-4, 0) a um mínimo da função dentro da restrição dada.

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