USE MULTIPLICADORES DE LAGRANGE PARA ENCONTRAR OS VALORES EXTREMOS DA FUNÇÃO
(maximo EMínimo)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de otimização usando multiplicadores de Lagrange. A gente quer encontrar os valores máximos e mínimos da função
que está restrita a uma elipse dada por
. Para isso, vamos usar os multiplicadores de Lagrange, que são uma técnica para otimizar uma função sujeita a uma restrição.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são multiplicadores de Lagrange. É uma estratégia que permite encontrar os pontos onde a função que queremos otimizar (no caso,
) tem seus extremos, enquanto respeita a restrição (a elipse). Basicamente, a gente cria uma nova função chamada de função de Lagrange, que combina a função original e a restrição usando um multiplicador, que geralmente chamamos de
.
Passo 3
A função de Lagrange fica assim:
onde
e
.
Então, nossa função de Lagrange será:
Passo 4
Agora, vamos encontrar as derivadas parciais dessa função em relação a
,
e
e igualar cada uma a zero. Isso nos dará um sistema de equações que vamos resolver para encontrar os pontos extremos.
Derivando em relação a
:
Derivando em relação a
:
Derivando em relação a
:
Passo 5
Vamos resolver o sistema de equações:
Primeiro, da segunda equação, podemos fatorar:
Isso dá duas possibilidades:
-
-
então
Vamos analisar cada caso.
Caso 1:
Substituindo
na restrição:
Agora, vamos encontrar
usando a primeira equação:
Para
:
Para
:
Caso 2:
Substituindo
na primeira equação:
Agora, substituindo
na restrição:
Resposta
Os valores extremos da função
restrita à elipse
ocorrem nos pontos:
O ponto
corresponde a um máximo e o ponto
a um mínimo da função dentro da restrição dada.