Determine se a sequência dada é crescente, decrescente ou não-monótona. A sequência é limitada?
an=nn^3+1

Passo 1

O enunciado dá a sequência
an = nn^3+1,
para ninN, e pede para determinarmos se ela é crescente, decrescente ou não-monótona, e ainda se é limitada. Para isso vamos comparar an+1 com an (diferença ou quociente) e depois investigar limites e valores extremos.

Passo 2

Calculamos a diferença
an+1-an = n+1(n+1)^3+1 - nn^3+1 = (n+1)(n^3+1) - nl((n+1)^3+1r)l(n^3+1r)l((n+1)^3+1r)
O denominador é positivo para todo n>=1, então basta analisar o numerador.

Passo 3

Expandindo o numerador,
(n+1)(n^3+1) = n^4+n^3+n+1,
nl((n+1)^3+1r) = nl(n^3+3n^2+3n+2r) = n^4+3n^3+3n^2+2n
Logo
num = l(n^4+n^3+n+1r)-l(n^4+3n^3+3n^2+2nr) = -l(2n^3+3n^2+n-1r)
Para n>=1 temos 2n^3+3n^2+n-1>0, então num<0 e consequentemente
an+1-an<0
Isto mostra que a sequência é estritamente decrescente para n>=1.

Passo 4

Para a limitação, note que para todo n>=1 vale
an=nn^3+1>0 e an<= a1=11^3+1=12
Além disso limntoinftyan=0. Logo a sequência é limitada inferiormente por 0 e superiormente por tfrac12.

Resposta

A sequência an=nn^3+1 é estritamente decrescente e limitada, com
0 < an <= tfrac12

Exercícios relacionados