Determine os pontos extremos da função
f(x, y, z)=-x^2+2 y^2+2 z^2
sobre o plano de equação
x+2 y+z=9

Passo 1

Vamos resumir o que precisamos fazer: queremos encontrar os pontos onde a função f(x, y, z) = -x^2 + 2 y^2 + 2 z^2 atinge seus valores máximos e mínimos, mas somente nos pontos que estão sobre o plano definido pela equação x + 2 y + z = 9 . Para resolver isso, vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange, que é uma técnica matemática para encontrar os extremos de funções sujeitas a restrições.

Passo 2

Primeiro, identificamos a função que queremos otimizar, que no caso é f(x, y, z) = -x^2 + 2 y^2 + 2 z^2 , e a restrição, que é g(x, y, z) = x + 2 y + z - 9 = 0 .

Passo 3

Segundo o método dos multiplicadores de Lagrange, precisamos encontrar um número lambda tal que as derivadas parciais de f sejam iguais às derivadas parciais de g multiplicadas por lambda. Isso nos dá o sistema de equações:
partial fpartial x = lambda partial gpartial x partial fpartial y = lambda partial gpartial y partial fpartial z = lambda partial gpartial z g(x, y, z) = 0

Passo 4

Calculamos as derivadas parciais:
partial fpartial x = -2x, partial fpartial y = 4y, partial fpartial z = 4z
E para a restrição:
partial gpartial x = 1, partial gpartial y = 2, partial gpartial z = 1

Passo 5

Configuramos o sistema de equações usando o método dos multiplicadores de Lagrange:
-2x = lambda cdot 1 (1)
4y = lambda cdot 2 (2)
4z = lambda cdot 1 (3)
x + 2y + z = 9 (4)

Passo 6

Resolvemos as equações para encontrar x , y , z e lambda . Da equação (1):
lambda = -2x
Da equação (2):
4y = 2lambda implies y = lambda2
Da equação (3):
4z = lambda implies z = lambda4

Passo 7

Substituímos y e z em termos de lambda na equação da restrição (4):
x + 2(lambda2) + lambda4 = 9
Simplificando:
x + lambda + lambda4 = 9 implies x + 5lambda4 = 9
Mas sabemos que x = -lambda2 (da equação (1)), então substituímos:
-lambda2 + 5lambda4 = 9 implies 3lambda4 = 9 implies lambda = 12

Passo 8

Agora que sabemos que lambda = 12 , encontramos x , y e z :
x = -122 = -6
y = 122 = 6
z = 124 = 3

Resposta

Os pontos extremos da função são (-6, 6, 3) .

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