Vamos resumir o que precisamos fazer: queremos encontrar os pontos onde a função atinge seus valores máximos e mínimos, mas somente nos pontos que estão sobre o plano definido pela equação . Para resolver isso, vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange, que é uma técnica matemática para encontrar os extremos de funções sujeitas a restrições.
Passo 2
Primeiro, identificamos a função que queremos otimizar, que no caso é , e a restrição, que é .
Passo 3
Segundo o método dos multiplicadores de Lagrange, precisamos encontrar um número tal que as derivadas parciais de sejam iguais às derivadas parciais de multiplicadas por . Isso nos dá o sistema de equações:
Passo 4
Calculamos as derivadas parciais:
partial fpartial x = -2x, partial fpartial y = 4y, partial fpartial z = 4z
E para a restrição:
partial gpartial x = 1, partial gpartial y = 2, partial gpartial z = 1
Passo 5
Configuramos o sistema de equações usando o método dos multiplicadores de Lagrange:
-2x = lambda cdot 1 (1)
4y = lambda cdot 2 (2)
4z = lambda cdot 1 (3)
x + 2y + z = 9 (4)
Passo 6
Resolvemos as equações para encontrar x , y , z e lambda . Da equação (1):
lambda = -2x
Da equação (2):
4y = 2lambda implies y = lambda2
Da equação (3):
4z = lambda implies z = lambda4
Passo 7
Substituímos y e z em termos de lambda na equação da restrição (4):
x + 2(lambda2) + lambda4 = 9
Simplificando:
x + lambda + lambda4 = 9 implies x + 5lambda4 = 9
Mas sabemos que x = -lambda2 (da equação (1)), então substituímos: