Questão 5. (2.0 pontos) Considere a função f(x, y)=x \exp (x / y). Mostre que os planos tangentes ao gráfico de f passam pela origem. Obs: \exp (t)=e^{t}.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=x\exp\bigl(x/y\bigr)
e pede para mostrar que, para todo ponto (a,b) no domínio, o plano tangente ao gráfico de f em (a,b,f(a,b)) passa pela origem (0,0,0).
Conteúdo: derivadas parciais, regra do produto e da cadeia, e equação do plano tangente a uma superfície z=f(x,y).

Passo 2

Calcule as derivadas parciais de f. Como f(x,y)=x\,e^{x/y}, use regra do produto e da cadeia:
f_x(x,y) =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x\bigr)\,e^{x/y} + x\,\frac{\partial}{\partial x}\bigl(e^{x/y}\bigr) =e^{x/y}+x\,e^{x/y}\frac1y =e^{x/y}\Bigl(1+\frac{x}{y}\Bigr),
f_y(x,y) =x\,\frac{\partial}{\partial y}\bigl(e^{x/y}\bigr) =x\,e^{x/y}\bigl(-\frac{x}{y^2}\bigr) =-\frac{x^2}{y^2}\,e^{x/y}.

Passo 3

Escreva a equação do plano tangente a z=f(x,y) em (a,b):
z =f(a,b) +f_x(a,b)\,(x-a) +f_y(a,b)\,(y-b).

Passo 4

Mostre que (x,y,z)=(0,0,0) satisfaz esse plano. Substitua (x,y,z)=(0,0,0):
0 \;=\;f(a,b) +f_x(a,b)\,(0-a) +f_y(a,b)\,(0-b).
Agora use os valores
f(a,b)=a\,e^{a/b},\quad f_x(a,b)=e^{a/b}\Bigl(1+\frac{a}{b}\Bigr),\quad f_y(a,b)=-\frac{a^2}{b^2}\,e^{a/b}.
Então o lado direito vira
a\,e^{a/b} -\,a\,e^{a/b}\Bigl(1+\tfrac{a}{b}\Bigr) -\,b\Bigl(-\tfrac{a^2}{b^2}e^{a/b}\Bigr) =a\,e^{a/b}-a\,e^{a/b}-\frac{a^2}{b}e^{a/b}+\frac{a^2}{b}e^{a/b}=0.
Logo (0,0,0) pertence ao plano tangente.

Resposta

Os planos tangentes ao gráfico de f(x,y)=x\exp(x/y) em qualquer ponto (a,b) passam pela origem (0,0,0).

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