Questão 5. (2.0 pontos) Considere a função
. Mostre que os planos tangentes ao gráfico de
passam pela origem. Obs:
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para mostrar que, para todo ponto
no domínio, o plano tangente ao gráfico de
em
passa pela origem
.
Conteúdo: derivadas parciais, regra do produto e da cadeia, e equação do plano tangente a uma superfície .
Conteúdo: derivadas parciais, regra do produto e da cadeia, e equação do plano tangente a uma superfície
Passo 2
Calcule as derivadas parciais de
. Como
, use regra do produto e da cadeia:
Passo 3
Escreva a equação do plano tangente a
em
:
Passo 4
Mostre que
satisfaz esse plano. Substitua
:
Agora use os valores
Então o lado direito vira
Logo
pertence ao plano tangente.
Resposta
Os planos tangentes ao gráfico de
em qualquer ponto
passam pela origem
.