Integrais de linha e o Teorema de Green
(4) Sabendo que os campos abaixo são conservativos encontre uma função potencial para cada campo dado. Utilize esta função para calcular \int_{C} \vec{F} d r, onde C é a curva indicada:
\vec{F}(x, y)=2(x-y) \vec{i}+2(3 y-x) \vec{j}; onde C é qualquer curva ligando (3,0) a (0,3).

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial
\vec{F}(x,y)=2(x-y)\,\vec{i}+2(3y-x)\,\vec{j}
e pede para mostrar que ele é conservativo, achar uma função potencial \varphi(x,y) tal que \nabla\varphi=\vec{F}, e então usar essa \varphi para calcular \displaystyle \int_{C}\vec{F}\cdot d\vec r, onde C é qualquer curva de (3,0) a (0,3).
O conteúdo aqui é integrais de linha em campos conservativos: basta achar \varphi e aplicar o teorema fundamental das integrais de linha.

Passo 2

Como \phi_x =\frac{\partial\varphi}{\partial x} deve ser igual à componente x de \vec{F}, temos
\phi_x = 2(x-y).
Integramos em relação a x:
\varphi(x,y)=\int 2(x-y)\,dx = x^2 -2xy + g(y),
onde g(y) é uma “constante” de integração que depende só de y.

Passo 3

Agora usamos a condição \phi_y =\frac{\partial\varphi}{\partial y}=2(3y-x). Calculando \phi_y a partir de x^2-2xy+g(y), obtemos
\phi_y = -2x + g'(y).
Igualando a componente y de \vec{F}, ou seja,
-2x + g'(y) = 2(3y-x) = 6y -2x,
vemos que g'(y)=6y. Integrando em y:
g(y)=\int 6y\,dy = 3y^2 + C.
Podemos tomar C=0 sem perda de generalidade. Logo a função potencial é
\varphi(x,y)=x^2 -2xy +3y^2.

Passo 4

Pelo teorema fundamental das integrais de linha em campos conservativos,
\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec r =\varphi\bigl(0,3\bigr)-\varphi\bigl(3,0\bigr).
Calculando:
\varphi(0,3)=0^2 -2\cdot0\cdot3 +3\cdot3^2 =27, \qquad \varphi(3,0)=3^2 -2\cdot3\cdot0 +3\cdot0^2 =9.
Portanto,
\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec r =27-9=18.

Resposta

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