Integrais de linha e o Teorema de Green
(4) Sabendo que os campos abaixo são conservativos encontre uma função potencial para cada campo dado. Utilize esta função para calcular
, onde
é a curva indicada:
; onde
é qualquer curva ligando
a
.
(4) Sabendo que os campos abaixo são conservativos encontre uma função potencial para cada campo dado. Utilize esta função para calcular
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
e pede para mostrar que ele é conservativo, achar uma função potencial
tal que
, e então usar essa
para calcular
, onde
é qualquer curva de
a
.
O conteúdo aqui é integrais de linha em campos conservativos: basta achar e aplicar o teorema fundamental das integrais de linha.
O conteúdo aqui é integrais de linha em campos conservativos: basta achar
Passo 2
Como
deve ser igual à componente
de
, temos
Integramos em relação a
:
onde
é uma “constante” de integração que depende só de
.
Passo 3
Agora usamos a condição
. Calculando
a partir de
, obtemos
Igualando a componente
de
, ou seja,
vemos que
. Integrando em
:
Podemos tomar
sem perda de generalidade. Logo a função potencial é
Passo 4
Pelo teorema fundamental das integrais de linha em campos conservativos,
Calculando:
Portanto,