Determine a inversa da seguinte função hiperbólica:
y=coth(x)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a inversa da função hiperbólica coth(x), ou seja, dado
y = coth(x),
resolver para x em função de y. Vamos usar a definição de coth em termos de exponenciais e propriedades de logaritmo.

Passo 2

Lembrando que
coth(x)=e^x+e^-xe^x-e^-x,
substituímos na equação y=coth(x), obtendo
y = e^x + e^-xe^x - e^-x

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados por e^x - e^-x para eliminar o denominador:
y,(e^x - e^-x) = e^x + e^-x
Isso dá
y,e^x - y,e^-x = e^x + e^-x

Passo 4

Agrupamos os termos com e^x de um lado e com e^-x do outro:
y,e^x - e^x = y,e^-x + e^-x Longrightarrow (y-1)e^x = (y+1)e^-x
Multiplicando ambos os lados por e^x ficamos com
(y-1)e^2x = y+1 Longrightarrow e^2x = y+1y-1

Passo 5

Aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados e isolamos x:
2x = ln!l(y+1y-1r) Longrightarrow x = 12,ln!l(y+1y-1r)

Passo 6

Devemos observar o domínio da inversa: como coth(x) varia em (-infty,-1]cup[1,infty) (sem tocar em [-1,1]), a inversa só está definida para |y|>1.

Resposta

arccoth(y) =12,ln!l(y+1y-1r), |y|>1

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