Determine a inversa da seguinte função hiperbólica:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a inversa da função hiperbólica
, ou seja, dado
resolver para
em função de
. Vamos usar a definição de
em termos de exponenciais e propriedades de logaritmo.
Passo 2
Lembrando que
substituímos na equação
, obtendo
Passo 3
Multiplicamos ambos os lados por
para eliminar o denominador:
Isso dá
Passo 4
Agrupamos os termos com
de um lado e com
do outro:
Multiplicando ambos os lados por
ficamos com
Passo 5
Aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados e isolamos
:
Passo 6
Devemos observar o domínio da inversa: como
varia em
(sem tocar em
), a inversa só está definida para
.