Determine a inversa da seguinte função hiperbólica:
y=csch(x)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a função inversa de
y = csch(x),
ou seja, expressar x em função de y. Vamos usar a definição de cosecante hiperbólica e a função inversa de seno hiperbólico para resolver.

Passo 2

Lembrando que
csch(x) = 1sinh(x),
temos
y = 1sinh(x) Longrightarrow sinh(x) = 1y

Passo 3

Para isolar x, aplicamos a função inversa de sinh, que é arcsinh. Assim,
x = arcsinh!l(tfrac1yr)

Passo 4

Sabendo que
arcsinh(u) = ln!l(u + raiz1+u^2r),
fazendo u = tfrac1y obtemos
x = ln!l(tfrac1y + raiz1 + tfrac1y^2r)

Resposta

csch^-1(y) = arcsinh!l(tfrac1yr) = ln!l(tfrac1y + raiz1 + tfrac1y^2r),
válido para yneq 0.

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