Determine e classifique os pontos críticos da seguinte função:
f: R R dada por f(x)=x^3- ^15 x^2+18 x+13.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar e classificar os pontos críticos da função f(x) = x^3 - 15x^2 + 18x + 13 . Isso significa que vamos identificar onde a derivada dessa função é zero ou não existe, e depois dizer se esses pontos são máximos, mínimos ou pontos de inflexão. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função f(x) . A derivada nos dá a taxa de variação da função em cada ponto. Vamos derivar termo a termo:
f'(x) = ddx(x^3) - ddx(15x^2) + ddx(18x) + ddx(13)
Calculando cada derivada:
f'(x) = 3x^2 - 30x + 18

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos. Isso acontece onde f'(x) = 0 ou onde a derivada não existe. Como nossa derivada é um polinômio, ela existe para todos os valores de x . Então, vamos resolver a equação:
3x^2 - 30x + 18 = 0
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 3:
x^2 - 10x + 6 = 0
Para resolver essa equação quadrática, vamos usar a fórmula de Bhaskara:
x = 10 pm raiz(-10)^2 - 4 cdot 1 cdot 62 cdot 1 = 10 pm raiz100 - 242 = 10 pm raiz762 = 10 pm 2raiz192 = 5 pm raiz19
Então, os pontos críticos são:
x1 = 5 + raiz19 e x2 = 5 - raiz19

Passo 4

Agora que temos os pontos críticos, vamos classificá-los. Para isso, vamos usar a segunda derivada da função f(x) , que nos ajuda a determinar a concavidade da função nesses pontos.
Primeiro, vamos encontrar a segunda derivada:
f''(x) = ddx(f'(x)) = ddx(3x^2 - 30x + 18) = 6x - 30
Agora, vamos avaliar f''(x) em cada ponto crítico:
  1. Para x1 = 5 + raiz19 :
f''(5 + raiz19) = 6(5 + raiz19) - 30 = 30 + 6raiz19 - 30 = 6raiz19 > 0
Como f''(x1) > 0 , isso indica que a função é côncava para cima nesse ponto, ou seja, é um mínimo local.
  1. Para x2 = 5 - raiz19 :
f''(5 - raiz19) = 6(5 - raiz19) - 30 = 30 - 6raiz19 - 30 = -6raiz19 < 0
Como f''(x2) < 0 , isso indica que a função é côncava para baixo nesse ponto, ou seja, é um máximo local.

Resposta

Os pontos críticos da função f(x) = x^3 - 15x^2 + 18x + 13 são:
  • x = 5 + raiz19 mínimo local
  • x = 5 - raiz19 máximo local

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