Determine e classifique os pontos críticos da seguinte função:
dada por
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar e classificar os pontos críticos da função
. Isso significa que vamos identificar onde a derivada dessa função é zero ou não existe, e depois dizer se esses pontos são máximos, mínimos ou pontos de inflexão. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função
. A derivada nos dá a taxa de variação da função em cada ponto. Vamos derivar termo a termo:
Calculando cada derivada:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos. Isso acontece onde
ou onde a derivada não existe. Como nossa derivada é um polinômio, ela existe para todos os valores de
. Então, vamos resolver a equação:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 3:
Para resolver essa equação quadrática, vamos usar a fórmula de Bhaskara:
Então, os pontos críticos são:
Passo 4
Agora que temos os pontos críticos, vamos classificá-los. Para isso, vamos usar a segunda derivada da função
, que nos ajuda a determinar a concavidade da função nesses pontos.
Primeiro, vamos encontrar a segunda derivada:
Agora, vamos avaliar
em cada ponto crítico:
- Para
:
Como
, isso indica que a função é côncava para cima nesse ponto, ou seja, é um mínimo local.
- Para
:
Como
, isso indica que a função é côncava para baixo nesse ponto, ou seja, é um máximo local.
Resposta
Os pontos críticos da função
são:
-
— mínimo local -
— máximo local