Determine a derivada da seguinte função:
f(x)=exp (cosh (raizx^2+4))

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a derivada da função f(x) = exp(cosh(raizx^2 + 4)) . A matéria que a gente vai usar aqui é o cálculo de derivadas, especificamente a regra da cadeia. Vamos precisar entender como derivar funções compostas, ou seja, funções dentro de outras funções.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da função que estão “debaixo” umas das outras. Temos a função exponencial exp(u) , onde u = cosh(v) , e por sua vez v = raizx^2 + 4 . Então, para achar a derivada de f(x) , vamos usar a regra da cadeia várias vezes, começando de fora para dentro.

Passo 3

Vamos começar derivando a parte externa, que é exp(u) . A derivada de exp(u) em relação a u é simplesmente exp(u) . Então, até agora temos:
f'(x) = exp(u) cdot dudx
onde u = cosh(v) .

Passo 4

Agora, vamos derivar u = cosh(v) em relação a v . Sabemos que a derivada de cosh(v) é sinh(v) . Então:
dudx = sinh(v) cdot dvdx
onde v = raizx^2 + 4 .

Passo 5

Finalmente, vamos derivar v = raizx^2 + 4 em relação a x . Podemos reescrever v como (x^2 + 4)^1/2 . Usando a regra do poder, a derivada é:
dvdx = 12(x^2 + 4)^-1/2 cdot 2x = xraizx^2 + 4

Resposta

Juntando tudo, a derivada de f(x) é:
f'(x) = exp(cosh(raizx^2 + 4)) cdot sinh(raizx^2 + 4) cdot xraizx^2 + 4

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