Resolva as equações diferenciais
b)
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Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
. Estamos trabalhando com equações diferenciais lineares de segunda ordem. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral, que é a soma da solução da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
. Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, assumimos uma solução do tipo
.
Passo 3
Substituindo
na equação homogênea, temos:
Dividindo por
(que nunca é zero), obtemos a equação característica:
Passo 4
Resolvendo a equação característica
usando a fórmula de Bhaskara:
Como temos uma raiz dupla
, a solução geral da equação homogênea é:
onde
e
são constantes de integração.
Passo 5
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação completa
. Dado que o lado direito é
, que não é uma forma padrão, vamos tentar o método dos coeficientes indeterminados ou da variação de parâmetros. Porém, devido à complexidade do termo
, a variação de parâmetros é mais adequada.
Passo 6
Para usar a variação de parâmetros, precisamos das soluções da equação homogênea, que já temos:
e
. A solução particular será da forma:
onde
e
são funções a serem determinadas.
Passo 7
Calculamos as derivadas necessárias:
Mas para simplificar, usamos a condição:
Isso facilita os cálculos.
Passo 8
Substituindo no método de variação de parâmetros, obtemos um sistema de equações:
Substituindo
,
,
e
:
Passo 9
Resolvemos o sistema para
e
. Primeiramente, multiplicando a primeira equação por 2:
Subtraindo da segunda equação:
Portanto:
Passo 10
Substituindo
na primeira equação:
Então:
Passo 11
Integramos
e
:
Ignoramos as constantes de integração, pois já estão incluídas na solução homogênea.
Passo 12
Agora, temos:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
e
são constantes de integração.