Resolva as equações diferenciais
b) y^prime prime-4 y^prime+4 y=e^2 xx

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial y'' - 4y' + 4y = e^2xx . Estamos trabalhando com equações diferenciais lineares de segunda ordem. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral, que é a soma da solução da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada: y'' - 4y' + 4y = 0 . Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, assumimos uma solução do tipo y = e^rx .

Passo 3

Substituindo y = e^rx na equação homogênea, temos:
r^2 e^rx - 4r e^rx + 4 e^rx = 0
Dividindo por e^rx (que nunca é zero), obtemos a equação característica:
r^2 - 4r + 4 = 0

Passo 4

Resolvendo a equação característica r^2 - 4r + 4 = 0 usando a fórmula de Bhaskara:
r = 4 pm raiz16 - 162 = 42 = 2
Como temos uma raiz dupla r = 2 , a solução geral da equação homogênea é:
yh = (C1 + C2 x) e^2x
onde C1 e C2 são constantes de integração.

Passo 5

Agora, vamos encontrar uma solução particular yp para a equação completa y'' - 4y' + 4y = e^2xx . Dado que o lado direito é e^2xx , que não é uma forma padrão, vamos tentar o método dos coeficientes indeterminados ou da variação de parâmetros. Porém, devido à complexidade do termo 1x , a variação de parâmetros é mais adequada.

Passo 6

Para usar a variação de parâmetros, precisamos das soluções da equação homogênea, que já temos: y1 = e^2x e y2 = x e^2x . A solução particular será da forma:
yp = u1 y1 + u2 y2
onde u1 e u2 são funções a serem determinadas.

Passo 7

Calculamos as derivadas necessárias:
yp' = u1' y1 + u1 y1' + u2' y2 + u2 y2'
yp'' = u1'' y1 + 2u1' y1' + u1 y1'' + u2'' y2 + 2u2' y2' + u2 y2''
Mas para simplificar, usamos a condição:
u1' y1 + u2' y2 = 0
Isso facilita os cálculos.

Passo 8

Substituindo no método de variação de parâmetros, obtemos um sistema de equações:
u1' y1 + u2' y2 = 0 u1' y1' + u2' y2' = e^2xx
Substituindo y1 , y2 , y1' e y2' :
u1' e^2x + u2' x e^2x = 0 u1' 2e^2x + u2' (e^2x + 2x e^2x) = e^2xx

Passo 9

Resolvemos o sistema para u1' e u2' . Primeiramente, multiplicando a primeira equação por 2:
2u1' e^2x + 2u2' x e^2x = 0
Subtraindo da segunda equação:
(2u1' e^2x + 2u2' x e^2x) - (2u1' e^2x + u2' e^2x + 2u2' x e^2x) = -u2' e^2x = e^2xx
Portanto:
u2' = -1x

Passo 10

Substituindo u2' = -1x na primeira equação:
u1' e^2x - xx e^2x = u1' e^2x - e^2x = 0
Então:
u1' = 1

Passo 11

Integramos u1' e u2' :
u1 = integral 1 , dx = x + C
u2 = integral -1x , dx = -ln|x| + C
Ignoramos as constantes de integração, pois já estão incluídas na solução homogênea.

Passo 12

Agora, temos:
yp = u1 y1 + u2 y2 = x e^2x + (-ln x) cdot x e^2x = x e^2x (1 - ln x)

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = yh + yp = (C1 + C2 x) e^2x + x e^2x (1 - ln x)
onde C1 e C2 são constantes de integração.

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