Determine e classifique os pontos de descontinuidade da função
f(x)=\frac{1}{x^{2}-4} .

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=\frac{1}{x^{2}-4}
e pede para determinar onde ela é descontínua e classificar esses pontos. Vamos usar a teoria de funções racionais: descontinuidades ocorrem onde o denominador se anula.

Passo 2

Encontramos onde o denominador vale zero, resolvendo
x^{2}-4=0.
Isso dá
x^{2}=4 \quad\Longrightarrow\quad x=\pm2.

Passo 3

Para classificar a descontinuidade em x=2, calculamos os limites laterais:
\lim_{x\to2^-}f(x) =\lim_{x\to2^-}\frac{1}{x^{2}-4} =-\infty,
\lim_{x\to2^+}f(x) =\lim_{x\to2^+}\frac{1}{x^{2}-4} =+\infty.
Como pelo menos um dos limites laterais diverge para infinito, em x=2 há uma descontinuidade do tipo infinita (vertical).

Passo 4

De modo análogo em x=-2:
\lim_{x\to(-2)^-}f(x) =\lim_{x\to(-2)^-}\frac{1}{x^{2}-4} =+\infty,
\lim_{x\to(-2)^+}f(x) =\lim_{x\to(-2)^+}\frac{1}{x^{2}-4} =-\infty.
Novamente, como pelo menos um dos limites laterais diverge, em x=-2 também há descontinuidade infinita (vertical).

Resposta

As descontinuidades ocorrem em x=-2 e x=2, e ambas são do tipo infinita (assimptótica vertical).

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