Determine o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de
no ponto dado. Em seguida, encontre as equações das retas tangente e normal ao gráfico de
nos mesmos pontos.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função
no ponto
. Depois, também precisamos achar as equações das retas tangente e normal nesse ponto. Para resolver isso, vamos usar conceitos de derivadas, que nos ajudam a encontrar a inclinação das retas tangentes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o coeficiente angular. Ele representa a inclinação da reta, ou seja, o quanto a reta sobe ou desce. Para encontrar esse coeficiente na reta tangente, precisamos calcular a derivada da função
.
A derivada de
em relação a
é:
Isso significa que a inclinação da reta tangente é sempre 2, independente do ponto escolhido.
Passo 3
Agora que sabemos que a derivada
, esse valor é o coeficiente angular da reta tangente no ponto
. Então, o coeficiente angular
da reta tangente é:
Passo 4
Com o coeficiente angular em mãos, vamos encontrar a equação da reta tangente. Usamos a fórmula da equação da reta:
Onde
é o ponto
e
. Substituindo os valores:
Distribuindo o 2:
Finalmente, isolando
:
Curioso, essa é a própria função
!
Passo 5
Agora, vamos encontrar a equação da reta normal. A reta normal é perpendicular à reta tangente. Sabemos que se duas retas são perpendiculares, seus coeficientes angulares são negativos inversos. Então, se
, o coeficiente angular
da reta normal será:
Usando a mesma fórmula da reta, com
e o ponto
:
Distribuindo o
:
Isolando
:
Resposta
O coeficiente angular da reta tangente é
. As equações das retas são:
- Reta tangente:
- Reta normal: