Determine o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de f no ponto dado. Em seguida, encontre as equações das retas tangente e normal ao gráfico de f nos mesmos pontos.
f(x)=2 x+4, P=(1,6)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função f(x) = 2x + 4 no ponto P = (1, 6) . Depois, também precisamos achar as equações das retas tangente e normal nesse ponto. Para resolver isso, vamos usar conceitos de derivadas, que nos ajudam a encontrar a inclinação das retas tangentes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o coeficiente angular. Ele representa a inclinação da reta, ou seja, o quanto a reta sobe ou desce. Para encontrar esse coeficiente na reta tangente, precisamos calcular a derivada da função f(x) .
A derivada de f(x) = 2x + 4 em relação a x é:
f'(x) = 2
Isso significa que a inclinação da reta tangente é sempre 2, independente do ponto escolhido.

Passo 3

Agora que sabemos que a derivada f'(x) = 2 , esse valor é o coeficiente angular da reta tangente no ponto P = (1, 6) . Então, o coeficiente angular mt da reta tangente é:
mt = 2

Passo 4

Com o coeficiente angular em mãos, vamos encontrar a equação da reta tangente. Usamos a fórmula da equação da reta:
y - y0 = mt (x - x0)
Onde (x0, y0) é o ponto P = (1, 6) e mt = 2 . Substituindo os valores:
y - 6 = 2 (x - 1)
Distribuindo o 2:
y - 6 = 2x - 2
Finalmente, isolando y :
y = 2x + 4
Curioso, essa é a própria função f(x) !

Passo 5

Agora, vamos encontrar a equação da reta normal. A reta normal é perpendicular à reta tangente. Sabemos que se duas retas são perpendiculares, seus coeficientes angulares são negativos inversos. Então, se mt = 2 , o coeficiente angular mn da reta normal será:
mn = -12
Usando a mesma fórmula da reta, com mn = -12 e o ponto P = (1, 6) :
y - 6 = -12 (x - 1)
Distribuindo o -12:
y - 6 = -12x + 12
Isolando y :
y = -12x + 132

Resposta

O coeficiente angular da reta tangente é mt = 2 . As equações das retas são:
  • Reta tangente: y = 2x + 4
  • Reta normal: y = -12x + 132

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