Determine o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de f no ponto dado. Em seguida, encontre as equações das retas tangente e normal ao gráfico de f nos mesmos pontos.
f(x)=1x+1, P=(0,1)

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=1x+1
e o ponto P=(0,1) sobre o gráfico de f. Pede-se o coeficiente angular da reta tangente nesse ponto e, em seguida, as equações das retas tangente e normal. Para isso, vamos usar derivada para achar o coeficiente angular da tangente e depois a relação entre tangente e normal.

Passo 2

Calculamos a derivada de f usando a regra da função recíproca. Para
f(x)= (x+1)^-1,
temos
f'(x)=-1cdot(x+1)^-2=-1(x+1)^2

Passo 3

O coeficiente angular da reta tangente no ponto x=0 é
f'(0)=-1(0+1)^2=-1

Passo 4

Com mtang=-1 e passando por (x0,y0)=(0,1), a equação da reta tangente é dada por
y - y0 = mtang,(x - x0)
ou seja
y - 1 = -1,(x - 0)
portanto
y = -x + 1

Passo 5

A reta normal é perpendicular à tangente, então seu coeficiente angular é o negativo do recíproco de -1, isto é
mnorm = 11 = 1
Usando ponto P=(0,1), sua equação é
y - 1 = 1,(x - 0)
ou seja
y = x + 1

Resposta

Coeficiente angular da tangente: -1.
Equação da reta tangente: y = -x + 1.
Equação da reta normal: y = x + 1.

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