Determine o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de
no ponto dado. Em seguida, encontre as equações das retas tangente e normal ao gráfico de
nos mesmos pontos.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função
no ponto
. Depois, a gente também vai precisar achar as equações das retas tangente e normal nesse mesmo ponto. Para isso, vamos usar conceitos de derivada, que nos ajuda a encontrar a inclinação de uma curva em um ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o coeficiente angular da reta tangente é igual ao valor da derivada da função no ponto considerado. Então, vamos derivar a função
.
A derivada de
é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar o coeficiente angular da reta tangente no ponto
. Para isso, substituímos
na derivada que calculamos:
Então, o coeficiente angular da reta tangente é 12.
Passo 4
Com o coeficiente angular da tangente em mãos, vamos encontrar a equação da reta tangente. Usamos a fórmula ponto-inclinação:
Onde:
-
é o coeficiente angular (12), -
é o ponto .
Substituindo os valores:
Agora, vamos simplificar a equação:
Então, a equação da reta tangente é
.
Passo 5
Agora, vamos encontrar a equação da reta normal. A reta normal é perpendicular à reta tangente no mesmo ponto. Para encontrar a inclinação da reta normal, usamos o negativo do inverso do coeficiente angular da tangente.
Então, se o coeficiente angular da tangente é 12, o da normal será:
Usando novamente a fórmula ponto-inclinação com o ponto
:
Simplificando a equação:
Então, a equação da reta normal é
.
Resposta
O coeficiente angular da reta tangente é
. As equações das retas são:
- Reta tangente:
- Reta normal: