Determine o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de f no ponto dado. Em seguida, encontre as equações das retas tangente e normal ao gráfico de f nos mesmos pontos.
f(x)=x^3+3, P=(-2,-5)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função f(x) = x^3 + 3 no ponto P = (-2, -5) . Depois, a gente também vai precisar achar as equações das retas tangente e normal nesse mesmo ponto. Para isso, vamos usar conceitos de derivada, que nos ajuda a encontrar a inclinação de uma curva em um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o coeficiente angular da reta tangente é igual ao valor da derivada da função no ponto considerado. Então, vamos derivar a função f(x) .
A derivada de f(x) = x^3 + 3 é:
f'(x) = 3x^2

Passo 3

Agora, vamos encontrar o coeficiente angular da reta tangente no ponto P = (-2, -5) . Para isso, substituímos x = -2 na derivada que calculamos:
f'(-2) = 3(-2)^2 = 3 times 4 = 12
Então, o coeficiente angular da reta tangente é 12.

Passo 4

Com o coeficiente angular da tangente em mãos, vamos encontrar a equação da reta tangente. Usamos a fórmula ponto-inclinação:
y - y1 = m(x - x1)
Onde:
  • m é o coeficiente angular (12),
  • (x1, y1) é o ponto P = (-2, -5) .
Substituindo os valores:
y - (-5) = 12(x - (-2))
y + 5 = 12(x + 2)
Agora, vamos simplificar a equação:
y + 5 = 12x + 24
y = 12x + 24 - 5
y = 12x + 19
Então, a equação da reta tangente é y = 12x + 19 .

Passo 5

Agora, vamos encontrar a equação da reta normal. A reta normal é perpendicular à reta tangente no mesmo ponto. Para encontrar a inclinação da reta normal, usamos o negativo do inverso do coeficiente angular da tangente.
Então, se o coeficiente angular da tangente é 12, o da normal será:
mnormal = -112
Usando novamente a fórmula ponto-inclinação com o ponto P = (-2, -5) :
y - (-5) = -112(x - (-2))
y + 5 = -112(x + 2)
Simplificando a equação:
y + 5 = -112x - 212
y + 5 = -112x - 16
y = -112x - 16 - 5
y = -112x - 316
Então, a equação da reta normal é y = -112x - 316 .

Resposta

O coeficiente angular da reta tangente é 12 . As equações das retas são:
  • Reta tangente: y = 12x + 19
  • Reta normal: y = -112x - 316

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