Determine o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de f no ponto dado. Em seguida, encontre as equações das retas tangente e normal ao gráfico de f nos mesmos pontos.
f(x)=raiz2 x-2, P=(9,4)

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=raiz2x-2
e o ponto P=(9,4) sobre seu gráfico. Precisamos calcular o coeficiente angular da reta tangente em P e em seguida escrever as equações da reta tangente e da reta normal nesse ponto. Para isso vamos usar a regra da cadeia para derivar raiz2x-2, avaliar a derivada em x=9 e então aplicar a forma ponto-inclinação de uma reta.

Passo 2

Derivamos
f(x) = (2x-2)^1/2
Pela regra da cadeia,
f'(x)=12(2x-2)^-1/2cdot(2) =1raiz2x-2

Passo 3

Avaliaremos f'(x) em x=9:
f'(9)=1raiz2cdot9-2 =1raiz18-2 =1raiz16 =14
Logo, o coeficiente angular da tangente em P é mtan=tfrac14.

Passo 4

Usando a forma ponto-inclinação para a reta tangente em P=(9,4),
y-4=14(x-9)

Passo 5

A reta normal tem coeficiente angular o negativo do recíproco de mtan, isto é
mnorm=-1mtan=-4
Aplicando ponto-inclinação em P:
y-4=-4(x-9)

Resposta

Coeficiente angular da tangente: tfrac14
Equação da reta tangente:
y-4=14(x-9)
Equação da reta normal:
y-4=-4(x-9)

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