Determine o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de
no ponto dado. Em seguida, encontre as equações das retas tangente e normal ao gráfico de
nos mesmos pontos.
Passo 1
O enunciado dá a função
e o ponto
sobre seu gráfico. Precisamos calcular o coeficiente angular da reta tangente em
e em seguida escrever as equações da reta tangente e da reta normal nesse ponto. Para isso vamos usar a regra da cadeia para derivar
, avaliar a derivada em
e então aplicar a forma ponto-inclinação de uma reta.
Passo 2
Derivamos
Pela regra da cadeia,
Passo 3
Avaliaremos
em
:
Logo, o coeficiente angular da tangente em
é
.
Passo 4
Usando a forma ponto-inclinação para a reta tangente em
,
Passo 5
A reta normal tem coeficiente angular o negativo do recíproco de
, isto é
Aplicando ponto-inclinação em
:
Resposta
Coeficiente angular da tangente:
Equação da reta tangente:
Equação da reta tangente:
Equação da reta normal: