Verifique se as funções vetoriais abaixo são contínuas no ponto t0 indicado.
r(t)=llsen(t)t i+j+k, & se t neq 0 2 i+j+k, & se t=0 , t0=0

Passo 1

O enunciado nos dá a função vetorial
r(t)= dfracsin(t)t,i+j+k, & tneq0,[6pt] 2,i+j+k, & t=0,
e pede para verificar se ela é contínua em t0=0. O conteúdo envolvido é a definição de continuidade de função vetorial:
para ser contínua em t0 é necessário que
limtto t0r(t)=r(t0)
]

Passo 2

Vamos separar as componentes de r(t):
rx(t)=sin(t)t para tneq0 (e rx(0)=2),
ry(t)=1 para todo t,
rz(t)=1 para todo t.

Passo 3

Calculamos o limite de cada componente quando tto0:
limtto0rx(t) =limtto0sin(t)t =1,
limtto0ry(t)=1, limtto0rz(t)=1
Logo
limtto0r(t) =1,i+1,j+1,k

Passo 4

O valor de r em t=0 é dado por
r(0)=2,i+j+k

Passo 5

Comparando o limite com o valor em 0:
limtto0r(t)=i+j+k neq r(0)=2,i+j+k
Como não coincidem, a função não satisfaz a condição de continuidade em t0=0.

Resposta

A função vetorial r(t) não é contínua em t0=0.

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