Verifique se as funções abaixo são deriváveis em x0.
f(x)=|x+5|, x0=-2

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função
f(x)=|x+5|
é derivável em x0=-2. O conteúdo usado será a definição de derivada por limite do quociente de diferença ou, alternativamente, o fato de que funções lineares são diferenciáveis.

Passo 2

Vamos escrever
O ponto de “quebra” é , em algum intervalo aberto ao redor de temos sempre e, portanto,
nessa vizinhança.

Passo 3

Num intervalo onde f(x)=x+5, ela coincide com a função linear g(x)=x+5, que sabemos ser diferenciável em todo ponto. Para confirmar pelo limite, calculamos
f'( -2)=limxto -2f(x)-f(-2)x-(-2) =limxto -2(x+5)-((-2)+5)x+2 =limxto -2x+5-3x+2 =limxto -2x+2x+2 =1

Resposta

A função é derivável em x0=-2 e
f'(-2)=1

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