Sabe-se que a eficácia de uma vacina para uma certa doença é de 92 \%. Isso significa que a probabilidade de um indivíduo que tomou a vacina ser imunizado é de 0,92 .
a) Qual é a probabilidade de que, entre 10 pacientes vacinados, no máximo 1 não tenha sido imunizado?
b) Quantos indivíduos, em média, devem ser vacinados até que seja encontrado um que não tenha sido imunizado?

Passo 1

O enunciado diz que a probabilidade de um vacinado ser imunizado é de 0,92, logo a probabilidade de não imunização (falha) é q=1-0,92=0,08. Na parte (a) queremos a probabilidade de, em n=10 pacientes, ocorrer no máximo 1 falha: isso é um problema com distribuição binomial. Na parte (b) queremos a média de tentativas até a primeira falha, que segue distribuição geométrica.

Passo 2

Seja X o número de falhas em 10 vacinados. Então
X\sim \mathrm{Bin}\bigl(n=10,\;p_{\text{falha}}=0,08\bigr)
e buscamos
P(X\le1)=P(X=0)+P(X=1).

Passo 3

Calculamos cada termo:
P(X=0)=\binom{10}{0}(0,08)^{0}(0,92)^{10}=(0,92)^{10},
P(X=1)=\binom{10}{1}(0,08)^{1}(0,92)^{9}=10\cdot0,08\cdot(0,92)^{9}.
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P(X\le1)=(0,92)^{10}+10\cdot0,08\cdot(0,92)^{9}\approx 0,4344+0,3777=0,8121.

Passo 4

Na parte (b), se definirmos Y como o número de vacinados até a primeira falha, temos
Y\sim \text{Geom}(q=0,08),
cuja esperança é
E(Y)=\frac{1}{q}=\frac{1}{0,08}=12,5.

Resposta

a) P(\text{no máximo 1 não imunizado})\approx0,8121áã.
b) Em média são necessários 12,5 vacinados até achar um não imunizado.

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