De quantas maneiras diferentes podemos aplicar as três provas de um vestibular, nos primeiros 7 dias de julho sem que haja provas em dias consecutivos?
Passo 1
O problema pede para agendar três provas distintas nos dias de 1 a 7 de julho de modo que não haja provas em dias consecutivos. Precisamos então (i) escolher três dias entre os sete sem que dois escolhidos sejam consecutivos e (ii) atribuir as três provas a esses dias (porque as provas são diferentes).
Passo 2
Para contar quantas maneiras de escolher três dias sem consecutividade, usamos o seguinte argumento de “espaços”: se
são os dias escolhidos, exigimos
. Definimos novas variáveis
Cada
varia entre
e
com
. Logo, o número de escolhas de
sem consecutividade é igual ao número de maneiras de escolher três elementos distintos entre cinco, ou seja
Passo 3
Como as três provas são diferentes, para cada escolha de três dias podemos permutar as provas de
maneiras. Assim, o total de agendamentos válidos é