De quantas maneiras diferentes podemos aplicar as três provas de um vestibular, nos primeiros 7 dias de julho sem que haja provas em dias consecutivos?

Passo 1

O problema pede para agendar três provas distintas nos dias de 1 a 7 de julho de modo que não haja provas em dias consecutivos. Precisamos então (i) escolher três dias entre os sete sem que dois escolhidos sejam consecutivos e (ii) atribuir as três provas a esses dias (porque as provas são diferentes).

Passo 2

Para contar quantas maneiras de escolher três dias sem consecutividade, usamos o seguinte argumento de “espaços”: se d_1<d_2<d_3 são os dias escolhidos, exigimos d_{i+1}\ge d_i+2. Definimos novas variáveis
x_1 = d_1,\quad x_2 = d_2-1,\quad x_3 = d_3-2.
Cada x_i varia entre 1 e 7-2=5 com x_1<x_2<x_3. Logo, o número de escolhas de (d_1,d_2,d_3) sem consecutividade é igual ao número de maneiras de escolher três elementos distintos entre cinco, ou seja
\binom{5}{3} = 10.

Passo 3

Como as três provas são diferentes, para cada escolha de três dias podemos permutar as provas de 3! maneiras. Assim, o total de agendamentos válidos é
10 \times 3! = 10 \times 6 = 60.

Resposta

60 maneiras possíveis.

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