Determine os coeficientes ck da série de Fourier das funções periódicas a seguir:
x(t)=cos (4 t)+sin (6 t)

Passo 1

O enunciado pede os coeficientes ck da série de Fourier complexa para
x(t)=cos(4t)+sin(6t)
O que vamos usar: a representação
x(t)=sumk=-infty^inftyck,e^j k omega0 t,
as fórmulas de Euler para cos e sin, e a identificação do período fundamental T0 e da frequência angular fundamental omega0.

Passo 2

Determinar T0 e omega0:
A função cos(4t) tem período T1=2pi4=pi2 e sin(6t) tem período T2=2pi6=pi3. O menor múltiplo comum é
T0=LCMl(tfracpi2,tfracpi3r)=pi
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omega0=2piT0=2(rad/s)

Passo 3

Decompor cos(4t) com Euler:
cos(4t)=e^j4t+e^-j4t2
Como 4=2,omega0, identificamos
c2=tfrac12, c-2=tfrac12,
e nenhum outro ck vem dessa parte.

Passo 4

Decompor sin(6t) com Euler:
sin(6t)=e^j6t-e^-j6t2j =-j2,e^j6t +j2,e^-j6t
Como 6=3,omega0, obtemos
c3=-tfracj2, c-3=+tfracj2,
e todos os demais ck dessa parte são zero.

Passo 5

Concluímos que todos os coeficientes distintos de zero são apenas para k=pm2 e k=pm3; os demais valem zero.

Resposta

c2=tfrac12,
c-2=tfrac12,
c3=-tfracj2,
c-3=tfracj2,
e ck=0 para todo k neq pm 2, pm 3.

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