Verifique primeiramente que o ponto P pertence à curva dada e ache a equação da reta tangente à curva no ponto P.
x y=-16, P=(-2,8);

Passo 1

O enunciado pede para verificar que o ponto P=(-2,8) pertence à curva dada por
x y = -16
e, em seguida, determinar a equação da reta tangente a essa curva no ponto P. O conteúdo envolvido é diferenciação implícita e aplicação da forma ponto-inclinação de uma reta.

Passo 2

Para verificar que P pertence à curva, basta substituir x=-2 e y=8 na equação x y=-16:
(-2)cdot 8 = -16,
que coincide com o lado direito da curva. Logo, P está de fato na curva.

Passo 3

Fazendo diferenciação implícita em
x y = -16,
temos
x,dydx + y,dxdx = 0
ou seja
x,dydx + y = 0 Longrightarrow dydx = -yx

Passo 4

No ponto P=(-2,8), o coeficiente angular da reta tangente é
m = dydx|(-2,8) = -8-2 = 4

Passo 5

Usando a forma ponto-inclinação da reta no ponto P:
y - y0 = m,(x - x0) Longrightarrow y - 8 = 4,(x - (-2)) = 4,(x + 2)
Desenvolvendo,
y - 8 = 4x + 8 Longrightarrow y = 4x + 16

Resposta

A reta tangente à curva xy=-16 no ponto (-2,8) é
boxedy = 4x + 16

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