Determine os coeficientes ck da série de Fourier das funções periódicas a seguir:
x(t)=-2 sin (t)+1

Passo 1

O enunciado dá a função periódica
x(t) = -2sin(t) + 1
com período T=2pi. Queremos os coeficientes ck da série de Fourier complexa
x(t) = sumk=-infty^infty ck,e^j k omega0 t,
onde omega0 = tfrac2piT = 1. A fórmula para ck é
ck = 1Tintegral0^T x(t),e^-j k omega0 t,dt = 12piintegral0^2pi x(t),e^-j k t,dt

Passo 2

Separamos
ou seja (c_k^{(1)} = \delta_{k,0}].

Passo 3

Agora a parte -2sin(t). Usamos a identidade de Euler:
sin(t) = e^jt-e^-jt2j Longrightarrow -2sin(t) = -2e^jt-e^-jt2j = jl(e^jt-e^-jtr)
Logo podemos escrever
-2sin(t) = j,e^j t ;-; j,e^-j t

Passo 4

Cada termo exponencial contribui apenas para um ck:
  • Do termo j,e^j t,
ck^(2a) = 12piintegral0^2pi j,e^j t,e^-j k t,dt = j,de<ak,1
  • Do termo -,j,e^-j t,
ck^(2b) = 12piintegral0^2pi (-j),e^-j t,e^-j k t,dt = -,j,de<ak,-1

Passo 5

Somando as contribuições da parte constante e da parte senoidal, obtemos
ck = ck^(1) + ck^(2a) + ck^(2b) = de<ak,0 ;+; j,de<ak,1;-;j,de<ak,-1

Resposta

boxedck = 1, & k=0, j, & k=1, -,j, & k=-1, 0, & caso contrário á

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