Determine as derivadas parciais de primeira ordem partial zpartial x e partial zpartial y, onde z=f(x, y).
f(x, y)=raiz[3]x^3+y^2+3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as derivadas parciais de primeira ordem, ou seja, partial zpartial x e partial zpartial y, para a função z = f(x, y) onde f(x, y) = raiz[3]x^3 + y^2 + 3. Basicamente, isso significa que vamos ver como z muda quando alteramos x ou y individualmente, mantendo o outro constante.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é derivada parcial. Diferente da derivada comum, que considera mudanças em uma variável, a derivada parcial foca na variação de uma variável enquanto a outra permanece fixa. Então, partial zpartial x nos mostra quanto z muda quando apenas x muda, e partial zpartial y faz o mesmo para y.

Passo 3

Agora, vamos aplicar a regra da cadeia para derivar z em relação a x e y. A função dada é z = (x^3 + y^2 + 3)^1/3. Vamos chamar o conteúdo da raiz cúbica de u, ou seja, u = x^3 + y^2 + 3. Assim, z = u^1/3.

Passo 4

Vamos derivar z em relação a x:
partial zpartial x = ddx ( u^1/3 ) = 13 u^-2/3 cdot partial upartial x
Agora, precisamos encontrar partial upartial x:
partial upartial x = partialpartial x (x^3 + y^2 + 3) = 3x^2

Passo 5

Substituindo partial upartial x na expressão de partial zpartial x:
partial zpartial x = 13 u^-2/3 cdot 3x^2 = x^2 cdot u^-2/3
Lembrando que u = x^3 + y^2 + 3, podemos reescrever:
partial zpartial x = x^2(x^3 + y^2 + 3)^2/3

Passo 6

Agora, vamos derivar z em relação a y:
partial zpartial y = ddy ( u^1/3 ) = 13 u^-2/3 cdot partial upartial y
Precisamos encontrar partial upartial y:
partial upartial y = partialpartial y (x^3 + y^2 + 3) = 2y

Passo 7

Substituindo partial upartial y na expressão de partial zpartial y:
partial zpartial y = 13 u^-2/3 cdot 2y = 2y3 cdot u^-2/3
Novamente, substituímos u:
partial zpartial y = 2y3(x^3 + y^2 + 3)^2/3

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem são:
partial zpartial x = x^2(x^3 + y^2 + 3)^2/3
e
partial zpartial y = 2y3(x^3 + y^2 + 3)^2/3

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