Determine as derivadas parciais de primeira ordem
, onde
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as derivadas parciais de primeira ordem, ou seja,
e
, para a função
onde
. Basicamente, isso significa que vamos ver como
muda quando alteramos
ou
individualmente, mantendo o outro constante.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é derivada parcial. Diferente da derivada comum, que considera mudanças em uma variável, a derivada parcial foca na variação de uma variável enquanto a outra permanece fixa. Então,
nos mostra quanto
muda quando apenas
muda, e
faz o mesmo para
.
Passo 3
Agora, vamos aplicar a regra da cadeia para derivar
em relação a
e
. A função dada é
. Vamos chamar o conteúdo da raiz cúbica de
, ou seja,
. Assim,
.
Passo 4
Vamos derivar
em relação a
:
Agora, precisamos encontrar
:
Passo 5
Substituindo
na expressão de
:
Lembrando que
, podemos reescrever:
Passo 6
Agora, vamos derivar
em relação a
:
Precisamos encontrar
:
Passo 7
Substituindo
na expressão de
:
Novamente, substituímos
:
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem são:
e