Determine se os conjuntos abaixo são linearmente independentes.
\left[\begin{array}{l}5 \\\\ 0 \\\\ 0\end{array}\right], \left[\begin{array}{r}7 \\\\ 2 \\\\ -6\end{array}\right], \left[\begin{array}{r}9 \\\\ 4 \\\\ -8\end{array}\right];

Passo 1

O enunciado nos dá três vetores em \mathbb{R}^3: \displaystyle v_1=\begin{pmatrix}5\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}, \displaystyle v_2=\begin{pmatrix}7\\\ 2\\\ -6\end{pmatrix} e \displaystyle v_3=\begin{pmatrix}9\\\ 4\\\ -8\end{pmatrix},
e pede para verificar se eles são linearmente independentes. O conteúdo que vamos usar é o critério de independência pelo determinante de uma matriz cujas colunas são esses vetores.

Passo 2

Construímos a matriz A cujas colunas são v_1, v_2 e v_3:
A = \begin{pmatrix} 5 & 7 & 9\\\\ 0 & 2 & 4\\\\ 0 & -6 & -8 \end{pmatrix}.

Passo 3

Para aplicar o critério do determinante, calculamos \det(A) expandindo pela primeira coluna, já que nela aparecem zeros que simplificam a conta:
\det(A) =5\begin{vmatrix}2 & 4\\\ -6 & -8\end{vmatrix} =5\bigl(2\cdot(-8)-4\cdot(-6)\bigr) =5(-16+24) =5\cdot8 =40.

Passo 4

Como \det(A)=40\neq0, concluímos que a única combinação linear que zera esses vetores é a trivial. Portanto o conjunto é linearmente independente.

Resposta

Os vetores são linearmente independentes.

Exercícios relacionados