Determine os complexos z tais que a igualdade a seguir é verdadeira
(barz)^2+i z=-2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os números complexos $ z $ que satisfazem a equação z . Aqui, estamos lidando com números complexos e suas propriedades, como o conjugado. Para resolver, vamos precisar lembrar como trabalhar com a forma algébrica dos números complexos e como manipular equações que envolvem essas partes.

Passo 2

Primeiro, vamos representar o número complexo $ z $ de forma geral. Um número complexo pode ser escrito como $ z = a + ib $, onde $ a $ é a parte real e $ b $ é a parte imaginária de $ z $.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o conjugado de $ z $, que é $ \overline{z} $. O conjugado de $ z = a + ib $ é $ \overline{z} = a - ib $.

Passo 4

Vamos calcular (z)^2. Usando $ \overline{z} = a - ib $:
z = a - ib
Sabemos que $ i^{2} = -1 $, então:
(z)^2 = (a - ib)^2 = a^2 - 2aib + (ib)^2
Isso simplifica para:
i^2 = -1

Passo 5

Agora, vamos substituir (z)^2 e $ z $ na equação original:
z
Substituindo:
(z)^2 + i z = -2
Vamos simplificar $ i(a + ib) $:
(a^2 - b^2) - 2aib + i(a + ib) = -2
Então, a equação fica:
i(a + ib)

Passo 6

Para facilitar, vamos separar as partes reais e imaginárias da equação:
Parte Real:
a^2 - b^2 - b = -2
Parte Imaginária:
-2ab + a = 0

Passo 7

Vamos resolver o sistema de equações:
  1. $ a^{2} - b^{2} - b = -2 $
  2. $ -2ab + a = 0 $
Da segunda equação, podemos fatorar $ a $:
a^2 - b^2 - b = -2
Isso nos dá duas possibilidades:
  • Caso 1: $ a = 0 $
  • Caso 2: $ -2b + 1 = 0 $ => $ b = \frac{1}{2} $

Passo 8

Caso 1: $ a = 0 $
Substituindo $ a = 0 $ na primeira equação:
a = 0
Resolvendo a equação quadrática:
a = 0
Então, $ b = 1 $ ou $ b = -2 $.
Portanto, temos dois números complexos:
  • $ z = 0 + i(1) = i $
  • $ z = 0 + i(-2) = -2i $

Passo 9

Caso 2: $ b = \frac{1}{2} $
Substituindo $ b = \frac{1}{2} $ na primeira equação:
b = 12
Simplificando:
b = 12
Aqui, $ a^{2} = -\frac{5}{4} $ não tem solução real, porque o quadrado de um número real não pode ser negativo. Portanto, não há soluções nesse caso.

Resposta

Os números complexos que satisfazem a equação são $ z = i $ e $ z = -2i $.

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