Determine os complexos
tais que a igualdade a seguir é verdadeira
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os números complexos $ z $ que satisfazem a equação
. Aqui, estamos lidando com números complexos e suas propriedades, como o conjugado. Para resolver, vamos precisar lembrar como trabalhar com a forma algébrica dos números complexos e como manipular equações que envolvem essas partes.
Passo 2
Primeiro, vamos representar o número complexo $ z $ de forma geral. Um número complexo pode ser escrito como $ z = a + ib $, onde $ a $ é a parte real e $ b $ é a parte imaginária de $ z $.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o conjugado de $ z $, que é $ \overline{z} $. O conjugado de $ z = a + ib $ é $ \overline{z} = a - ib $.
Passo 4
Vamos calcular
. Usando $ \overline{z} = a - ib $:
Sabemos que $ i^{2} = -1 $, então:
Isso simplifica para:
Passo 5
Agora, vamos substituir
e $ z $ na equação original:
Substituindo:
Vamos simplificar $ i(a + ib) $:
Então, a equação fica:
Passo 6
Para facilitar, vamos separar as partes reais e imaginárias da equação:
Parte Real:
Parte Imaginária:
Passo 7
Vamos resolver o sistema de equações:
- $ a^{2} - b^{2} - b = -2 $
- $ -2ab + a = 0 $
Da segunda equação, podemos fatorar $ a $:
Isso nos dá duas possibilidades:
- Caso 1: $ a = 0 $
- Caso 2: $ -2b + 1 = 0 $ => $ b = \frac{1}{2} $
Passo 8
Caso 1: $ a = 0 $
Substituindo $ a = 0 $ na primeira equação:
Resolvendo a equação quadrática:
Então, $ b = 1 $ ou $ b = -2 $.
Portanto, temos dois números complexos:
- $ z = 0 + i(1) = i $
- $ z = 0 + i(-2) = -2i $
Passo 9
Caso 2: $ b = \frac{1}{2} $
Substituindo $ b = \frac{1}{2} $ na primeira equação:
Simplificando:
Aqui, $ a^{2} = -\frac{5}{4} $ não tem solução real, porque o quadrado de um número real não pode ser negativo. Portanto, não há soluções nesse caso.
Resposta
Os números complexos que satisfazem a equação são $ z = i $ e $ z = -2i $.