Determine as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto e é perpendicular ao plano . Em que ponto a reta intercepta os planos coordenados. ( 2,0 pontos)
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
As equações paramétricas da reta que passa por e é perpendicular ao plano
Os pontos em que essa reta intercepta os planos coordenados , e .
Para isso vamos usar que uma reta perpendicular a um plano tem vetor direção paralelo ao vetor normal do plano.
Passo 2
O vetor normal do plano é dado pelos coeficientes de . Logo,
Como a reta deve ser paralela a , podemos tomar como vetor direção da reta .
Passo 3
As equações paramétricas de uma reta que passa por
Substituindo , obtemos
Passo 4
Agora vamos achar as interseções com cada plano coordenado, ou seja, resolver para t impondo x=0, depois y=0, depois z=0.
Passo 5
Interseção com o plano x=0:
Impondo x=1+t=0 dá t=-1. Substituindo em y e z,
y = 3(-1) = -3, z = 6 + (-1) = 5
Logo o ponto é ,(0,-3,5).
Passo 6
Interseção com o plano y=0:
Impondo y=3t=0 dá t=0. Substituindo em x e z,
x = 1 + 0 = 1, z = 6 + 0 = 6
Esse é justamente o ponto dado P0=(1,0,6).
Passo 7
Interseção com o plano z=0:
Impondo z=6+t=0 dá t=-6. Substituindo em x e y,
x = 1 + (-6) = -5, y = 3cdot(-6) = -18
Logo o ponto é ,(-5,-18,0).
Resposta
Equações paramétricas da reta:
x = 1 + t, y = 3t, z = 6 + t
Interseções com os planos coordenados:
com x=0:;(0,-3,5), com y=0:;(1,0,6), com z=0:;(-5,-18,0)