Determine as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto (1,0,6) e é perpendicular ao plano x+3 y+z=5. Em que ponto a reta intercepta os planos coordenados. ( 2,0 pontos)

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. As equações paramétricas da reta que passa por P0=(1,0,6) e é perpendicular ao plano
x + 3y + z = 5
  1. Os pontos em que essa reta intercepta os planos coordenados x=0, y=0 e z=0.
    Para isso vamos usar que uma reta perpendicular a um plano tem vetor direção paralelo ao vetor normal do plano.

Passo 2

O vetor normal do plano é dado pelos coeficientes de x,y,z. Logo,
n = (1,,3,,1)
Como a reta deve ser paralela a n, podemos tomar como vetor direção da reta v=(1,3,1).

Passo 3

As equações paramétricas de uma reta que passa por
Substituindo , obtemos

Passo 4

Agora vamos achar as interseções com cada plano coordenado, ou seja, resolver para t impondo x=0, depois y=0, depois z=0.

Passo 5

Interseção com o plano x=0:
Impondo x=1+t=0 t=-1. Substituindo em y e z,
y = 3(-1) = -3, z = 6 + (-1) = 5
Logo o ponto é ,(0,-3,5).

Passo 6

Interseção com o plano y=0:
Impondo y=3t=0 t=0. Substituindo em x e z,
x = 1 + 0 = 1, z = 6 + 0 = 6
Esse é justamente o ponto dado P0=(1,0,6).

Passo 7

Interseção com o plano z=0:
Impondo z=6+t=0 t=-6. Substituindo em x e y,
x = 1 + (-6) = -5, y = 3cdot(-6) = -18
Logo o ponto é ,(-5,-18,0).

Resposta

Equações paramétricas da reta:
x = 1 + t, y = 3t, z = 6 + t
Interseções com os planos coordenados:
com x=0:;(0,-3,5), com y=0:;(1,0,6), com z=0:;(-5,-18,0)

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