Determine as componentes do vector campo eléctrico \vec{E}, quando \varphi=x^{2} \cos \vartheta e para o caso em que o \varphi=3 x y.

Passo 1

O enunciado pede para achar as componentes do campo elétrico \vec{E} a partir de dois potenciais escalares:
  1. \varphi(r,\theta)=r^{2}\cos\theta em coordenadas cilíndricas (sem dependência em z).
  2. \varphi(x,y)=3\,x\,y em coordenadas cartesianas.
    Usaremos a relação
\vec{E}=-\nabla\varphi
aplicando o operador gradiente na forma adequada para cada sistema de coordenadas.

Passo 2

Para \varphi(r,\theta)=r^{2}\cos\theta em coordenadas cilíndricas o gradiente vale
\nabla\varphi = \mathbf e_{r}\,\frac{\partial\varphi}{\partial r} + \mathbf e_{\theta}\,\frac{1}{r}\,\frac{\partial\varphi}{\partial\theta} + \mathbf e_{z}\,\frac{\partial\varphi}{\partial z}.
Como \varphi não depende de z, temos
\frac{\partial\varphi}{\partial r}=2r\cos\theta, \qquad \frac{\partial\varphi}{\partial\theta}=-r^{2}\sin\theta, \qquad \frac{\partial\varphi}{\partial z}=0.
Logo
\nabla\varphi = \mathbf e_{r}\,(2r\cos\theta) + \mathbf e_{\theta}\,\Bigl(\frac{1}{r}(-r^{2}\sin\theta)\Bigr) + \mathbf e_{z}\,0 = 2r\cos\theta\,\mathbf e_{r}-r\sin\theta\,\mathbf e_{\theta}.
Portanto
\vec{E} =-\nabla\varphi =-2r\cos\theta\,\mathbf e_{r}+r\sin\theta\,\mathbf e_{\theta} \quad(\text{e }E_{z}=0).

Passo 3

Para \varphi(x,y)=3\,x\,y em coordenadas cartesianas o gradiente vale
\nabla\varphi =\mathbf e_{x}\,\frac{\partial\varphi}{\partial x} +\mathbf e_{y}\,\frac{\partial\varphi}{\partial y} +\mathbf e_{z}\,\frac{\partial\varphi}{\partial z}.
Calculamos
\frac{\partial\varphi}{\partial x}=3y, \quad \frac{\partial\varphi}{\partial y}=3x, \quad \frac{\partial\varphi}{\partial z}=0,
de modo que
\nabla\varphi =3y\,\mathbf e_{x}+3x\,\mathbf e_{y}+0\;\mathbf e_{z}.
Assim
\vec{E}=-\nabla\varphi =-3y\,\mathbf e_{x}-3x\,\mathbf e_{y} \quad(\text{e }E_{z}=0).

Resposta

Caso 1 ( \varphi=r^{2}\cos\theta em cilíndricas):
E_{r}=-2r\cos\theta,\quad E_{\theta}=r\sin\theta,\quad E_{z}=0.
Caso 2 ( \varphi=3xy em cartesianas):
E_{x}=-3y,\quad E_{y}=-3x,\quad E_{z}=0.

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