Determine:
o comprimento de um arco circular subtendido pelo ângulo \frac{p i}{12} rad se o raio do círculo for de 36 cm .

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dado: o ângulo central é \dfrac{\pi}{12}\\ \text{rad}.
  • Dado: o raio do círculo é 36\\ \text{cm}.
  • Pedido: determinar o comprimento do arco circular subtendido por esse ângulo.

Passo 2

Fórmula que vamos usar (e por que ela vale).
  • Definição de radiano: o ângulo \theta em radianos é definido por \theta=\dfrac{s}{r}, onde:
    • s é o comprimento do arco correspondente ao ângulo \theta;
    • r é o raio do círculo.
  • Isolando s obtemos a fórmula do comprimento do arco:
s = r\theta.
  • Explicação simples: um círculo inteiro tem ângulo 2\pi radianos e comprimento da circunferência 2\pi r. Assim, a relação s=r\theta faz sentido porque se \theta é uma fração de 2\pi, s é a mesma fração de 2\pi r.

Passo 3

Verificação das unidades e possibilidade de usar a fórmula.
  • A fórmula s=r\theta exige que \theta esteja em radianos. No enunciado o ângulo já foi dado em radianos: \dfrac{\pi}{12}\\ \text{rad}. Portanto podemos aplicar a fórmula diretamente.

Passo 4

Substituição dos valores e simplificação passo a passo.
  • Aplicando \;s=r\theta\; com r=36\\ \text{cm} e \theta=\dfrac{\pi}{12}:
s = 36 \cdot \frac{\pi}{12}.
  • Fazer a divisão 36\div 12:
36 \cdot \frac{\pi}{12} = \left(\frac{36}{12}\right)\pi = 3\pi.
  • Portanto o comprimento do arco, em forma exata, é 3\pi\\ \text{cm}.

Passo 5

Valor numérico aproximado e comentário final.
  • Aproximando \pi por 3{,}14159265\ldots:
3\pi \approx 3 \times 3{,}14159265 \approx 9{,}42477796\\ \text{cm}.
  • Para a prova prefira entregar a forma exata 3\pi\\ \text{cm}; se pedirem valor aproximado, pode arredondar, por exemplo, para 9{,}4248\\ \text{cm}.

Resposta

3\pi\\ \text{cm} \approx 9{,}4248\\ \text{cm}

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