Determine as equações da reta tangente às seguintes curvas:
beta(t)=(e^t, t e^t, t+4) no ponto (1,0,4)

Passo 1

O enunciado dá a curva paramétrica
beta(t) = l(e^t,;t,e^t,;t+4r)
e pede a reta tangente no ponto (1,0,4). O plano de ataque é:
  1. Determinar t0 tal que beta(t0)=(1,0,4).
  2. Calcular o vetor derivada beta'(t) e avaliá-lo em t0.
  3. Montar a equação da reta usando ponto e vetor diretor.

Passo 2

Para encontrar t0 resolvemos o sistema
e^t0=1, t0e^t0=0, t0+4=4
Da primeira equação vem t0=0 e as outras conferem. Logo
t0=0

Passo 3

Calculamos a derivada componente a componente:
beta'(t)=l(e^t,;e^t + t,e^t,;1r)
Em t0=0 isso dá
beta'(0) = l(e^0,;e^0+0,;1r) = (1,1,1)

Passo 4

A reta tangente, a partir do ponto beta(0)=(1,0,4) e vetor diretor (1,1,1), é
ell(s) = (1,0,4) + s,(1,1,1)
Em coordenadas paramétricas:
x = 1 + s, y = s, z = 4 + s
E em forma simétrica:
x-11 = y1 = z-41

Resposta

A reta tangente é
ell(s) = (1+s,;s,;4+s)
ou, equivalentemente,
x-11 = y1 = z-41

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