Determine o comprimento de arco das seguintes curvas nos intervalos dados:
x=cos ^3(t), y=a sen^3(t), z=1,0 <= t <= pi2.

Passo 1

O enunciado pede o comprimento de arco de uma curva paramétrica em que
x=cos^3(t),;y=a,sin^3(t),;z=1 para 0<= t<=pi2.
O conteúdo aqui é o comprimento de arco em R^3, que se obtém pela fórmula
L=integralt0^t1raiz(dxdt)^2+(dydt)^2+(dzdt)^2;dt

Passo 2

Primeiro calculamos as derivadas:
dxdt=ddtl(cos^3tr)=-3cos^2t,sen t, dydt=ddtl(a,sen^3tr)=3a,sen^2t,cos t, dzdt=0
Então o integrando fica
raiz(-3cos^2t,sen t)^2+(3a,sen^2t,cos t)^2 =3,cos t,sen t,raizcos^2t+a^2sen^2t,
pois em [0,pi2] temos cos t>=0 e sen t>=0.

Passo 3

Para calcular
L=integral0^pi23,cos t,sen t,raizcos^2t+a^2sen^2t;dt
fazemos a substituição
u=cos^2t+a^2sen^2t Longrightarrow du=2(a^2-1),sen t,cos t;dt
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sen t,cos t;dt=du2(a^2-1),
e o integral vira
L =integralu(0)=1^u(pi2)=a^2 3,raizu,du2(a^2-1) =32(a^2-1)integral1^a^2u^1/2,du =32(a^2-1)cdot23l[u^3/2r]1^a^2
Simplificando,
L=(a^2)^3/2-1^3/2a^2-1 =a^3-1a^2-1 =a^2+a+1a+1

Resposta

L=a^2+a+1a+1

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