Determine as derivadas parciais de primeira ordem:
sem ao quadrado (
)
Passo 1
Beleza! A gente tem um exercício que pede para encontrar as derivadas parciais de primeira ordem da função
. Então, vamos trabalhar com derivadas parciais, que são as taxas de variação da função em relação a uma variável, mantendo a outra constante. Para resolver, vamos precisar usar as regras de derivação, especialmente a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que temos duas derivadas parciais para encontrar: a derivada em relação a
e a derivada em relação a
.
Passo 3
Vamos começar encontrando a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
A função é
. Podemos reescrever isso como:
Para derivar isso em relação a
, usamos a regra da cadeia. Se temos
, a derivada é
.
Então, aplicando isso:
Agora, derivamos
em relação a
:
Então, substituindo de volta:
Podemos simplificar isso usando a identidade trigonométrica
:
Passo 4
Agora, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Usando novamente
, aplicamos a regra da cadeia:
Derivando
em relação a
:
Substituindo de volta:
Usando novamente a identidade trigonométrica:
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem da função
são:
e