Determine as derivadas parciais de primeira ordem: f(x, y)= sem ao quadrado ( x-3 y )

Passo 1

Beleza! A gente tem um exercício que pede para encontrar as derivadas parciais de primeira ordem da função f(x, y) = sin^2(x - 3y) . Então, vamos trabalhar com derivadas parciais, que são as taxas de variação da função em relação a uma variável, mantendo a outra constante. Para resolver, vamos precisar usar as regras de derivação, especialmente a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que temos duas derivadas parciais para encontrar: a derivada em relação a x e a derivada em relação a y .

Passo 3

Vamos começar encontrando a derivada parcial de f em relação a x , ou seja, partial fpartial x .
A função é f(x, y) = sin^2(x - 3y) . Podemos reescrever isso como:
f(x, y) = (sin(x - 3y))^2
Para derivar isso em relação a x , usamos a regra da cadeia. Se temos (g(x))^2 , a derivada é 2g(x) cdot g'(x) .
Então, aplicando isso:
partial fpartial x = 2 cdot sin(x - 3y) cdot partialpartial x [sin(x - 3y)]
Agora, derivamos sin(x - 3y) em relação a x :
partialpartial x [sin(x - 3y)] = cos(x - 3y) cdot partialpartial x (x - 3y) = cos(x - 3y) cdot 1 = cos(x - 3y)
Então, substituindo de volta:
partial fpartial x = 2 sin(x - 3y) cos(x - 3y)
Podemos simplificar isso usando a identidade trigonométrica 2sin A cos A = sin(2A) :
partial fpartial x = sin(2(x - 3y))

Passo 4

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de f em relação a y , ou seja, partial fpartial y .
Usando novamente f(x, y) = sin^2(x - 3y) , aplicamos a regra da cadeia:
partial fpartial y = 2 cdot sin(x - 3y) cdot partialpartial y [sin(x - 3y)]
Derivando sin(x - 3y) em relação a y :
partialpartial y [sin(x - 3y)] = cos(x - 3y) cdot partialpartial y (x - 3y) = cos(x - 3y) cdot (-3) = -3cos(x - 3y)
Substituindo de volta:
partial fpartial y = 2 sin(x - 3y) cdot (-3cos(x - 3y)) = -6 sin(x - 3y) cos(x - 3y)
Usando novamente a identidade trigonométrica:
partial fpartial y = -3 sin(2(x - 3y))

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem da função f(x, y) = sin^2(x - 3y) são:
partial fpartial x = sin(2(x - 3y))
e
partial fpartial y = -3 sin(2(x - 3y))

Exercícios relacionados