Represente as curvas paramétricas por meio de um gráfico:
x=a cos (t), y=a sen(t), 0 <= t <= 2 pi

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para representarmos as curvas paramétricas dadas por x = a cos(t) e y = a sin(t) no intervalo de 0 <= t <= 2pi . Vamos precisar usar conhecimentos sobre curvas paramétricas e trigonometria para desenhar o gráfico corretamente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são curvas paramétricas. Em vez de expressar y diretamente em função de x , as curvas paramétricas usam um parâmetro comum, neste caso t , para definir as coordenadas x e y .

Passo 3

Agora, vamos analisar as equações dadas:
x = a cos(t)
y = a sin(t)
Essas são as fórmulas paramétricas de um círculo. O a representa o raio do círculo.

Passo 4

Para desenhar o gráfico, vamos considerar diferentes valores de t entre 0 e 2pi . À medida que t varia nesse intervalo, x e y traçam todos os pontos ao redor de um círculo de raio a .

Passo 5

Vamos verificar alguns pontos chave:
  • Quando t = 0 :
x = a cos(0) = a e y = a sin(0) = 0
Então, o ponto é (a, 0) .
  • Quando t = pi2 :
x = a cos(pi2) = 0 e y = a sin(pi2) = a
Então, o ponto é (0, a) .
  • Quando t = pi :
x = a cos(pi) = -a e y = a sin(pi) = 0
Então, o ponto é (-a, 0) .
  • Quando t = 3pi2 :
x = a cos(3pi2) = 0 e y = a sin(3pi2) = -a
Então, o ponto é (0, -a) .

Passo 6

Com esses pontos, conseguimos visualizar que à medida que t varia de 0 a 2pi , (x, y) percorre um círculo completo de raio a centrado na origem.

Resposta

As curvas paramétricas x = a cos(t) e y = a sin(t) para 0 <= t <= 2pi representam um círculo de raio a centrado na origem. Ao plotar esses valores de t , obtemos um círculo completo no plano xy .

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